刘超等：类砂岩型矿石浸出液质量浓度混沌时序重构与浸矿周期预测 ·169 傅里叶变换后的Z为时间一功率谱，用于表示能 p(XX)= (4) 量随时间的演变规律四 N个n维相点中，任意两点之间的距离小于r的概率 cn(r)为 2浸矿周期的灰色预测 c.(）= Σ-p(X,X) (5) 由于浸出体系的每个状态体现在一个相点中，则 可以通过确定下一时刻相点位置来预测溶浸过程.当 式中，0为Heaviside函数： 已知数据较少时，可根据现有的信息特征，通过灰色理 论预测体系未来的变化趋势0 9-p(x,X)]={ ,r-p(X,X)≥0： (6) 0,r-p(X,X)<0. 为了使重构相空间的最邻近相点距演变序列Z 相空间中，距离小于某一给定临界距离r的相点 的规律性更强，将其进行一阶累加，得到序列Z： 成为关联相点，则动力系统关联维数D,为 Z=☑，(Z1+Z2),…,(Z,+Z2+…+Z)]. lnc.(r） (11) D2=lim Inr (7) 采用GM(1,1)模型，可得到Z的一阶线性微分 D,随着嵌入维数n的增大而增大，当n增大到饱 方程： 和嵌入维数后，D,变化很小或不再变化，此时的D2为 dz;/dt+ez;=b. (12) 重构相空间的动力关联维数四.若D,大于2或为分 解式(12)可得到通解： 数，则表明浸出液质量浓度时间序列具有一定的混沌 Z=(Z,-b/c)exp(-c(t-1))+b/e.(13) 特征 式中b和c为常数，可通过最小二乘法求出. 1.3混沌识别 预测值与实测值的残差序列9为 若系统是能量耗散的、非可逆的，则可能会出现混 9=【2-2,),(Z2-22),…,(Z-2].(14) 沌现象.常用的混沌识别方法有功率谱法、相图 同样，根据灰色模型可进行残差预测，通过残差模 法、Wol法等.其中Wor法较为简单实用，且可实现 型修正以提高预测精度 计算机编程，该方法的核心是计算序列的最大 相点距Z确定后，解二次方程式(8)，可得x(), Lyapunov指数.Lyapunov指数A是体现相空间轨迹 即浸出液质量浓度预测值 运动形式的固定参量.当入<0时，轨迹收缩，动力系 目前，确定浸矿周期的方法主要有2种：一种是基 统稳定；当入≥0时，轨迹扩张，运动不稳定，系统具有 于设计浸出率：另一种是根据浸出金属量的盈亏平衡 混沌特征团.对于m维的动力系统，会存在m个 点.两种方法都是由浸出液质量浓度确定浸矿周期 入(i=1,2,,m),若最大的Lyapunov指数入mm≥0， 以第1种方法为例，设目标浸出率为R,则浸矿周期。 则该系统一定具有混沌现象· 满足条件： 1.4相点距演变规律 x(-1)L <R, V.G 将浸出液质量浓度时间序列进行相空间重构，每 (15) 个相点代表浸出过程的一个状态.假设相点X,的最邻 x(t)L V.GR 近相点为X。,则X与X之间的距离Z为 式中，L为浸出液体积，V为总矿石量，G为矿石品位. Z,-2miw（lX:-X）= 将预测浸出液质量浓度x()代入式(15)，即可 {Cx()-x(t)]2+(t-)-x(L.-]2+…+ 得到，从而实现浸矿周期预测. (-(m-1)）-x(t.-(m-1)J2)n.(8) 3应用 式中，l和分别为相点X和X对应的浸矿时间. 由X,开始，依次计算出每个相点的最邻近相点 3.1砂岩型矿石浸出试验 距，可得到重构相空间的最邻近相点距演变序列Z: 为了考察堆浸过程中浸出液变化特征，充分显现 Z=(Z1,Z2,…,Z),j=1,2,…,N.(9) 其内在规律.试验以河砂为骨料、水泥为胶结剂、盐为有 序列Z同样代表浸出过程的一种状态，它可以反 用组分制作类砂岩型矿石，以水为溶浸液模拟浸矿过程 映出浸出液质量浓度序列x,各元素间的相对关系四. 试验中，每隔固定时间测定一次浸出液质量浓度. 将最邻近相点距演变序列Z作傅里叶变换可 利用有机玻璃模具制作直径25mm、高50mm的 得到： 柱状类砂岩型矿石试件（如图1所示），其中水泥与河 Z= (10) 砂质量比为1：4，品位分别为0、1%、3%和5%1-2 m-n+1 试件养护28d后，每种品位的试件各选取一个，刘 超等: 类砂岩型矿石浸出液质量浓度混沌时序重构与浸矿周期预测 ρ( Xi，Xj ) = ∑ m k = 1 ( xik － xjk ) 槡 2 ． ( 4) N 个 n 维相点中，任意两点之间的距离小于 r 的概率 cn ( r) 为 cn ( r) = 1 N2 ∑ N i，j = 1 i≠j θ［r － ρ( Xi，Xj ] ) ． ( 5) 式中，θ 为 Heaviside 函数: θ［r － ρ( Xi，Xj ) ］= 1， r － ρ( Xi，Xj ) ≥0; 0， r － ρ( Xi，Xj { ) ＜ 0． ( 6) 相空间中，距离小于某一给定临界距离 r 的相点 成为关联相点，则动力系统关联维数 D2为 D2 = limr→0 lncn ( r) lnr ． ( 7) D2随着嵌入维数 n 的增大而增大，当 n 增大到饱 和嵌入维数后，D2变化很小或不再变化，此时的 D2 为 重构相空间的动力关联维数［13］． 若 D2 大于 2 或为分 数，则表明浸出液质量浓度时间序列具有一定的混沌 特征［14］． 1. 3 混沌识别 若系统是能量耗散的、非可逆的，则可能会出现混 沌现象［15］． 常用的混沌识别方法有功率谱法、相图 法、Wolf 法等． 其中 Wolf 法较为简单实用，且可实现 计 算 机 编 程，该方法的核心是计算序列的最大 Lyapunov指数［16］． Lyapunov 指数 λ 是体现相空间轨迹 运动形式的固定参量． 当 λ ＜ 0 时，轨迹收缩，动力系 统稳定; 当 λ≥0 时，轨迹扩张，运动不稳定，系统具有 混沌 特 征［17］． 对于 m 维 的 动 力 系 统，会 存 在 m 个 λi ( i = 1，2，…，m) ，若最大的 Lyapunov 指数 λmax ≥0， 则该系统一定具有混沌现象［18］． 1. 4 相点距演变规律 将浸出液质量浓度时间序列进行相空间重构，每 个相点代表浸出过程的一个状态． 假设相点 Xk的最邻 近相点为 Xa，则 Xk与 Xa之间的距离 Zk为 Zk = min i = 1，2，…，( N － 1) ( ‖Xk － Xi‖) = { ［x( tk ) － x( ta ) ］2 +［x( tk － τ) － x( ta － τ) ］2 + … + ［x( tk － ( m － 1) τ) － x( ta － ( m － 1) τ］2 } 1 /2 ． ( 8) 式中，ta和 tk分别为相点 Xa和 Xk对应的浸矿时间． 由 X1 开始，依次计算出每个相点的最邻近相点 距，可得到重构相空间的最邻近相点距演变序列 Z: Z = ( Z1，Z2，…，Zj ) ，j = 1，2，…，N． ( 9) 序列 Z 同样代表浸出过程的一种状态，它可以反 映出浸出液质量浓度序列 xt各元素间的相对关系［19］． 将最邻 近 相 点 距 演 变 序 列 Z 作傅里叶变换可 得到: Zk = 1 槡m － n + 1 ∑ m －n +1 i = 1 Zie － 2πik ( m － n + 1) ． ( 10) 傅里叶变换后的 Z 为时间--功率谱，用于表示能 量随时间的演变规律［20］． 2 浸矿周期的灰色预测 由于浸出体系的每个状态体现在一个相点中，则 可以通过确定下一时刻相点位置来预测溶浸过程． 当 已知数据较少时，可根据现有的信息特征，通过灰色理 论预测体系未来的变化趋势［21］． 为了使重构相空间的最邻近相点距演变序列 Z 的规律性更强，将其进行一阶累加，得到序列 Z* : Z* =［Z1，( Z1 + Z2 ) ，…，( Z1 + Z2 + … + Zj ) ］． ( 11) 采用 GM( 1，1) 模型，可得到 Z* 的一阶线性微分 方程: d ^ Z* t /dt + c ^ Z* t = b． ( 12) 解式( 12) 可得到通解: Z* t = ( Z1 － b / c) exp( － c( t － 1) ) + b / c． ( 13) 式中 b 和 c 为常数，可通过最小二乘法求出． 预测值与实测值的残差序列 q 为 q = ［( Z1 － ^ Z1 ) ，( Z2 － ^ Z2 ) ，…，( Zj － ^ Zj ) ］． ( 14) 同样，根据灰色模型可进行残差预测，通过残差模 型修正以提高预测精度． 相点距 Zk确定后，解二次方程式( 8) ，可得 x( tk ) ， 即浸出液质量浓度预测值． 目前，确定浸矿周期的方法主要有 2 种: 一种是基 于设计浸出率; 另一种是根据浸出金属量的盈亏平衡 点． 两种方法都是由浸出液质量浓度确定浸矿周期． 以第 1 种方法为例，设目标浸出率为 Ｒ，则浸矿周期 tk 满足条件: x( tk － 1)·L V·G ＜ Ｒ， x( tk )·L V·G { ≥Ｒ． ( 15) 式中，L 为浸出液体积，V 为总矿石量，G 为矿石品位． 将预测浸出液质量浓度 x( tk ) 代入式( 15) ，即可 得到 tk，从而实现浸矿周期预测． 3 应用 3. 1 砂岩型矿石浸出试验 为了考察堆浸过程中浸出液变化特征，充分显现 其内在规律． 试验以河砂为骨料、水泥为胶结剂、盐为有 用组分制作类砂岩型矿石，以水为溶浸液模拟浸矿过程． 试验中，每隔固定时间测定一次浸出液质量浓度． 利用有机玻璃模具制作直径 25 mm、高 50 mm 的 柱状类砂岩型矿石试件( 如图 1 所示) ，其中水泥与河 砂质量比为 1∶ 4，品位分别为 0、1% 、3% 和 5%［21--23］． 试件养护 28 d 后，每种品位的试件各选取一个， · 961 ·