显然只有一个线性无关的解,所以所给矩阵在实数域R和复数域C上都不可对角化 ③令特征多项式f2)=E-A=0,即 1-12|=(2+4)4)=0 在实数范围内有一个根4,在复数范围内有3个不相等的根4,2i,-2i,所以所给矩阵在实 数域R上不可对角化,在复数域C上可对角化 ④令特征多项式f2=E-A=0,即 A-103 0-2 在实数范围内有一个根2,在复数范围内有3个不相等的根2.3+ih13-h 以所给矩阵在实数域R上不可对角化,在复数域C上可对角化 2设1,-1,2是3×3矩阵A的特征值,求(A2A+7E3)的行列式 解设多项式g(x)=x2-2x+7,若是A的特征值,则g()是g(A)的特征值,所以g(A)的特征 值为6,10,7,从而g(A)可对角化,g(A)与下面对角形矩这相似 600 007 所以(A2-2A+7E3)的行列式为420 3.设a1,α是A的属于不同特征值的特征向量,证明:a1+a不是特征向量 证设a1,a2是A的分别属于特征值λ,~2的特征向量,λ1≠λ2,假设 a1+a2也是A的某个特征值λ的特征向量,则有 另一方面A(x1+a2)=A1+Aa2=21a1+22a2 从而a1+a2=21a1+2a2 即(-21)a1+(-入2)0x2=0 这与a1,a2线性无关相矛盾,说明a1+a2不是特征向量 4在实数域R上,下面的矩阵A是否可对角化?如果A可对角化,则求可逆矩阵C,使CAC 是对角矩阵 001 101 ①010 ②32-1显然只有一个线性无关的解，所以所给矩阵在实数域 R 和复数域 C 上都不可对角化． ③令特征多项式 f(λ)=|λE-A|=0，即    3 1 1 1 2 3 3 2      =(λ 2+4)(λ-4)=0 在实数范围内有一个根 4，在复数范围内有 3 个不相等的根 4，2i，-2i，所以所给矩阵在实 数域 R 上不可对角化，在复数域 C 上可对角化． ④ 令特征多项式 f(λ)=|λE-A|=0，即 1 0 2 5 2 1 1 0 3          =(λ-2)(λ 2-3λ+5)=0 在实数范围内有一个根 2，在复数范围内有 3 个不相等的根 2， 2 3  i 11 ， 2 3  i 11 ，所 以所给矩阵在实数域 R 上不可对角化，在复数域 C 上可对角化． 2.设 1，-1，2 是 3×3 矩阵 A 的特征值，求(A2-2A+7E3)的行列式． 解 设多项式 g(x)=x 2-2x+7，若λ是 A 的特征值，则 g(λ)是 g(A)的特征值，所以 g(A)的特征 值为 6，10，7，从而 g(A)可对角化，g(A)与下面对角形矩这相似       0 0 7 0 10 0 6 0 0 所以(A2-2A+7E3)的行列式为 420． 3.设α1，α2是 A 的属于不同特征值的特征向量，证明：α1+α2不是特征向量． 证 设α1，α2是 A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，λ1≠λ2，假设 α1+α2也是 A 的某个特征值λ的特征向量，则有 A(α1+α2)= λ(α1+α2) =λα1+λα2 另一方面 A(α1+α2)= Aα1+Aα2= λ1α1+λ2α2 从而 λα1+λα2= λ1α1+λ2α2 即 (λ-λ1)α1+(λ-λ2)α2= 0 这与α1，α2线性无关相矛盾，说明α1+α2不是特征向量． 4.在实数域 R 上，下面的矩阵 A 是否可对角化？如果 A 可对角化，则求可逆矩阵 C，使 C-1AC 是对角矩阵． ①       1 0 0 0 1 0 0 0 1 ②        1 0 1 3 2 1 1 0 1 ③          0 1 1 3 2 1 1 3 0