从而令β=A,则β≠0,且 l()=o(00a=a=λo4B 所以λ0-是σ的特征值 9.设A∈ Mater(R),满足AA=En,证明:如果A=1,则-1是A的一个特征值 证对AA=En两边加A得 ATA+A=En+A 即(A+E)A=En+A 两边取行列式得AT+EA=En+A 即En+AF=En+A 从而正+AF=0 所以-1是A的一个特征值 证对1+m(R),满足ATA=E2=、证明:如果A1,则1是A的一个特征值 10.设A∈Mat 两边加(-A)得 ATA-A=E2n+I-A 即(A-E2n+1)A=E2n+-A 两边取行列式得A-E2n+l/A|=E2n+-A 即臣2n+-A=2n+-A 从而正2m+-A=0 故有|A-E2n+1 所以1是A的一个特征值 11.9.设A,B∈Matx(R),.证明:①如果A是可逆的,则AB与BA有相同的特征多项式 ②如果A不是可逆的,证明上述结论同样成立 证如果A可逆,对AB左边乘A1,右边乘A得AABA=BA,即AB与BA相似,所 以有相同的特征多项式 习题8.5解答 1在实数域R上,下面的矩阵是否可对角化?在复数域C上呢? ①021 00-2 ④521 -3-10 解①特征多项式f入)=DEA有3个实根1,2,-2,所以所给矩阵在实数域R和复数 域C上都可对角化 ②特征多项式f=E-A有2个相等的实根1,解线性方程组(EA)X=0,即 6)(2-0)从而令β=λ0α，则β≠0，且 σ -1(β)= σ -1(λ0α)= α=λ0 -1β 所以λ0 -1 是σ -1的特征值． 9. 设 A∈Matn×n(R)，满足 ATA=En．证明：如果|A|=-1，则 -1 是 A 的一个特征值． 证 对 ATA=En两边加 A 得 ATA+A=En+A 即 (AT+ En )A=En+A 两边取行列式得 |AT+ En| |A|=|En+A| 即 -|En+A|=|En+A| 从而 |En+A|=0 所以-1 是 A 的一个特征值． 10. 设 A∈Mat(2n+1)(2n+1)(R)，满足 ATA=E2n+1．证明：如果|A|=1，则 1 是 A 的一个特征值． 证 对 ATA=E2n+1两边加(-A)得 ATA-A=E2n+1-A 即 (AT - E2n+1 )A=E2n+1-A 两边取行列式得 |AT - E2n+1| |A|=|E2n+1-A| 即 |E2n+1-A|=|E2n+1-A| 从而 |E2n+1-A|=0 故有 |A-E2n+1|=0 所以 1 是 A 的一个特征值． 11. 9. 设 A，B∈Matn×n(R)．证明：①如果 A 是可逆的，则 AB 与 BA 有相同的特征多项式． ②*如果 A 不是可逆的，证明上述结论同样成立． 证 如果 A 可逆，对 AB 左边乘 A-1，右边乘 A 得 A-1ABA=BA，即 AB 与 BA 相似，所 以有相同的特征多项式． 习题 8.5 解答 1.在实数域 R 上，下面的矩阵是否可对角化？在复数域 C 上呢？ ①         0 0 2 0 2 1 1 3 5 ②       0 1 1 1 ③         3 1 0 1 1 2 3 3 2 ④        1 0 2 5 2 1 1 0 3 解 ①特征多项式 f(λ)=|λE-A| 有 3 个实根 1，2，-2，所以所给矩阵在实数域 R 和复数 域 C 上都可对角化． ②特征多项式 f(λ)=|λE-A| 有 2 个相等的实根 1，解线性方程组(1E-A)X=0,即        0 0 0 1       2 1 x x =       0 0