解方程组(2E-A)X=0, 12-111|x210 112-11|x30 得入2=3=4=2的特征子空间的一个基 0 0 (0 3设A∈ Mat(F).证明:0是A的一个特征值的充分必要条件是A=0 证0是A的一个特征值的充分必要条件是OE-A=0,即A=0 4设A∈ Matnxnl(F),证明:如果λ是A的一个特征值,则入是AT的一个特征值 证因为(AE-A)=(入E-A) 矩阵转置其行列式不变,故 E-A=队E-A 所以如果λ0是A的一个特征值,则λ0是A的一个特征值 5设V是一个实数域R上的3维线性空间,G∈(V).证明:定有实特征值 证假若在复数域内将G的特征多项式分解成(-1)(2-2)(-3),由于多项式的非实数根 成对出现,而且是一对共轭复根,所以必然有一个实根,从而σ一定有实特征值 6设2,-2,3是n×n矩阵A的特征值,求(A23A-10En)的行列式 解因为2是n×n矩阵A的特征值,所以A+2En=0 又因(A2-3A-10En)=(A-5EA+2En) 取行列式得A23A-10Ea=A-5E2En+A=0 7.设A∈ Mater(F),g(x)∈FKx].证明:如果λ是A的一个特征值,则g(4)是g(A)的一个 特征值 证如果λ是A的一个特征值,则存在非零n维向量ξ使A2=0,从 A2=A0)=02,A3=λ032,…,A=0 说明λ是矩阵Ak的特征值 ix g(x=akX+ak-1xk-l-+.tax+ao W g(A)5=(akA+aK-1Ak-l+.+aIA+aoE)5=g(0)5 所以g(0)是g(A)的一个特征值 8设V是数域F上的n维线性空间,设G∈(V),并切σ是可逆的.证明:如果λ0是的一个 特征值,则λ0≠0,并且λ1是σ1的特征值 证如果入0是G的一个特征值,则存在a∈V,α≠0,使(a)= 因σ是可逆的,存在σ使σ(o(a)=1(a)=a 由上式最后一个等式看出λ0≠0,否则σ(0a=0,矛盾解方程组(2E-A)X=0，                 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1       4 3 2 1 x x x x =       0 0 0 0 得λ2=λ3=λ4=2 的特征子空间的一个基 ξ2=       0 0 1 1 ，ξ3=       0 1 0 1 ，ξ4=       1 0 0 1 3.设 A∈Matn×n(F)．证明：0 是 A 的一个特征值的充分必要条件是|A|=0． 证 0 是 A 的一个特征值的充分必要条件是|0E-A|=0，即|A|=0． 4.设 A∈Matn×n(F)．证明：如果λ0是 A 的一个特征值，则λ0是 AT的一个特征值． 证 因为 (λ0E-A) T= (λ0E-AT ) 矩阵转置其行列式不变，故 |λ0E-A|= |λ0E-AT | 所以如果λ0是 A 的一个特征值，则λ0是 AT的一个特征值． 5.设 V 是一个实数域 R 上的 3 维线性空间，σ∈ℒ(V)．证明：σ一定有实特征值． 证 假若在复数域内将σ的特征多项式分解成 (λ-λ1) (λ-λ2) (λ-λ3),由于多项式的非实数根 成对出现，而且是一对共轭复根，所以必然有一个实根，从而σ一定有实特征值． 6.设 2，-2，3 是 n×n 矩阵 A 的特征值，求(A2-3A-10En)的行列式． 解 因为 2 是 n×n 矩阵 A 的特征值，所以|A+2 En|=0． 又因 (A2-3A-10En)=(A-5 En)(A+2 En) 取行列式得 |A2-3A-10En|=|A-5 En| |2 En+ A |=0 7. 设 A∈Matn×n(F)，g(x)∈F[x]．证明：如果λ0 是 A 的一个特征值，则 g(λ0)是 g(A)的一个 特征值． 证 如果λ0是 A 的一个特征值，则存在非零 n 维向量ξ使 Aξ=λ0ξ，从而 A2ξ=A(λ0ξ)= λ0 2ξ ，A3ξ= λ0 3ξ，...，Akξ= λ0 kξ 说明λ0 k是矩阵 Ak的特征值， 设 g(x)=akx k+ak-1x k-1+...+a1x+a0 则 g(A)ξ= (akAk+ak-1Ak-1+...+a1A+a0E)ξ= g(λ0) ξ 所以 g(λ0)是 g(A)的一个特征值． 8.设 V 是数域 F 上的 n 维线性空间，设σ∈ℒ(V)，并切σ是可逆的．证明：如果λ0是σ的一个 特征值，则λ0≠0，并且λ0 -1 是σ -1的特征值． 证 如果λ0是σ的一个特征值，则存在α∈V，α≠0，使σ(α)=λ0α 因σ是可逆的，存在σ -1使σ -1(σ(α))= σ -1(λ0α)= α 由上式最后一个等式看出λ0≠0，否则σ -1(λ0α)=0，矛盾．