银川科技职业学院《高签数学》救集 第土二童常微分方程 函数和x,那么原方程就称为可分离变量的微分方程」 讨论：下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1)y=2xy, 是.→yh=2xd. (2)3x2+5x-y=0, 是.→=(3x2+5x)dx. (3r2+y2)d-xd=0,不是 (4y=1+x+y2+2,是.y=(1+x1+y), (5y=10, 是.=10d=10dx. (6)y'=+上 不是 y x 可分离变量的徽分方程的解法： 第一步分离变量，将方程写成gy)dy=x)的形式； 第二步两端积分：「g)d=∫fx)d,设积分后得G0以Fx)+C: 第三步求出由GOy)=F(x)+C所确定的隐函数y=x)或x=y Gy)=Fx)+C,=中(x)或x=y)都是方程的通解，其中Gy)=Fx)+C称为隐式 (通)解. 例1求微分方程少=2xy的通解 dr 解此方程为可分离变量方程，分离变量后得 Idy=2xdx, 两边积分得 2, 即 lnby=x2+Ci, 从而 y=tex+C=teCiex, 因为±e9仍是任意常数，把它记作C,便得所给方程的通解 y=Cex2 解 此方程为可分离变量方程，分离变量后得 y=2xdx, y 两边积分得 2x, 即 Inby=x2+InC, 第7页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 7 页 函数和 dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y2xy 是 y 1 dy2xdx  (2)3x 2 5xy0 是 dy(3x 2 5x)dx (3)(x 2 y 2 )dxxydy=0 不是 (4)y1xy 2 xy 2  是 y(1x)(1y 2 ) (5)y10xy  是 10y dy10x dx (6) x y y x y     不是 可分离变量的微分方程的解法 第一步 分离变量 将方程写成 g(y)dy f(x)dx 的形式 第二步 两端积分   g(y)dy f (x)dx  设积分后得 G(y)F(x)C 第三步 求出由 G(y)F(x)C 所确定的隐函数 y(x)或 x(y) G(y)F(x)C  y (x)或 x(y)都是方程的通解 其中 G(y)F(x)C 称为隐式 (通)解 例 1 求微分方程 xy dx dy 2 的通解 解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 dy xdx y 2 1   两边积分得   dy xdx y 2 1  即 ln|y|x 2 C1 从而 2 1 1 2 x C C x ye e e   因为 e C1 仍是任意常数 把它记作 C 便得所给方程的通解 2 x yCe  解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 dy xdx y 2 1   两边积分得   dy xdx y 2 1  即 ln|y|x 2 lnC