银科技职业学院《高慈数学》教宋 第土二童常微分方程 从而 y=Cer. 例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比.己知仁0时轴 的含量为Mo,求在衰变过程中轴含量M()随时间1变化的规律. 解铀的衰变速度就是M0)对时间1的导数 dt 由于轴的衰变速度与其含量成正比，故得微分方程 dM=-M, di 其中0)是常数，1前的曲面号表示当1增加时M单调减少.即4<0. dt 由题意，初始条件为 M=0=M6. 将方程分离变量得 =-dt M 两边积分，得∫兴-山， 即 lnME-+lnC,也即MCeu 由初始条件，得M=Ce°=C, 所以铀含量M(t)随时间t变化的规律M=Meu. 例3设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落 伞离开跳伞塔时速度为零.求降落伞下落速度与时间的函数关系， 解设降落伞下落速度为④.降落伞所受外力为F=mg-(k为比例系 数).根据牛顿第二运动定律F=ma,得函数v()应满足的方程为 md-mg-kv, d 初始条件为 y=0=0. 方程分离变量，得 dydi mg-ky m 丙边积分，得利中供。 mg-k品+C, m 即 v=m+Ce扁(c=-gg ) 将初始条件-0=0代入通解得C=-mg 第8页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 8 页 从而 2 x y Ce  例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比 已知 t0 时铀 的含量为 M0 求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 解 铀的衰变速度就是 M(t)对时间 t 的导数 dt dM  由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程 M dt dM   其中 (>0)是常数  前的曲面号表示当 t 增加时 M 单调减少 即 0 dt dM  由题意 初始条件为 M|t0M0 将方程分离变量得 dt M dM   两边积分 得     dt M dM ( )  即 lnMtlnC 也即 MCet  由初始条件 得 M0Ce0 C 所以铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 MM0e t  例 3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落 伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系 解 设降落伞下落速度为 v(t) 降落伞所受外力为 Fmgkv( k 为比例系 数) 根据牛顿第二运动定律 Fma 得函数 v(t)应满足的方程为 mg kv dt dv m    初始条件为 v|t00 方程分离变量 得 m dt mg kv dv    两边积分 得     m dt mg kv dv  1 ln( ) 1 C m t mg kv k      即 t m k Ce k mg v    ( k e C kC1  ) 将初始条件 v|t00 代入通解得 k mg C 