银川科技职业学院《高签数学》教集 第土二童常微分方程 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为v-mg1-e品). k 例4求微分方程少=1+x++x的通解。 d 解方程可化为 密0+0+月， 分离变量得 1+=1+xk, 1 两边积分得 ∫中=a+h,即arctany=2+x+C. 于是原方程的通解为y=tan(x2+x+C). 例4有高为1m的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积 为1cm2.开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随 时间1变化的规律， 解由水力学知道，水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算： 0--062si. 其中0.62为流量系数，S为孔口横截面面积，g为重力加速度.现在孔口横截面 面积S=1cm2,故 .2ghdv=0.2ghd. 另一方面，设在微小时间间隔[L,t+dl内，水面高度由h降至h+dh(dh<O), 则又可得到 dV=-mdh, 其中r是时刻1的水面半径，右端置负号是由于dh<0而dV>0的缘故.又因 r=√1002-(100-h2=√200h-h2, 所以 dW=-200h-h2)dh. 通过比较得到 0.62√2ghdh=-π(200h-h2)adh, 这就是未知函数h=h()应满足的微分方程. 此外，开始时容器内的水是满的，所以未知函数=)还应满足下列初始 条件： hl=0=100. 第9页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 9 页 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为 (1 ) t m k e k mg v     例 4 求微分方程 2 2 1 x y xy dx dy     的通解 解 方程可化为 (1 )(1 ) 2 x y dx dy     分离变量得 dy x dx y (1 ) 1 1 2     两边积分得      dy x dx y (1 ) 1 1 2  即 y x  xC 2 2 1 arctan  于是原方程的通解为 ) 2 1 tan( 2 y x  xC  例 4 有高为 1m 的半球形容器 水从它的底部小孔流出 小孔横截面面积 为 1cm2  开始时容器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面高度 h 随 时间 t 变化的规律 解 由水力学知道 水从孔口流出的流量 Q 可用下列公式计算 S gh dt dV Q 0.62 2  其中 0 62 为流量系数 S 为孔口横截面面积 g 为重力加速度 现在孔口横截面 面积 S1cm2  故 gh dt dV 0.62 2  或 dV 0.62 2ghdt  另一方面 设在微小时间间隔[t tdt]内 水面高度由 h 降至 hdh(dh0) 则又可得到 dVr 2 dh 其中 r 是时刻 t 的水面半径 右端置负号是由于 dh0 而 dV0 的缘故 又因 2 2 2 r  100 (100h)  200hh  所以 dV(200hh 2 )dh 通过比较得到 0.62 2ghdt (200h h )dh 2    这就是未知函数 hh(t)应满足的微分方程 此外 开始时容器内的水是满的 所以未知函数 hh(t)还应满足下列初始 条件 h|t0100