银川科技职业学院《高整数学》救集 第土二童常微分方程 S12.2可分离变量的微分方程 观察与分析： 1.求微分方程y=2x的通解.为此把方程两边积分，得 =x2+C 一般地，方程y=x)的通解为y=∫fx)+C(此处积分后不再加任意常 数). 2.求微分方程y=2x的通解. 因为y是未知的，所以积分「2xd无法进行，方程两边直 接积分不能求出通解， 为求通解可将方程变为立小=2x血，两边积分，得 -1=x2+C,或y=-1 x2+C' 可以验证函数)=十c是原方程的通解。 般地，如果一阶微分方程y=x,y)能写成 g(y)dy=fx)dx 形式，则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G(y)=F(x)+C, 由方程G(y)=Fx)+C所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程： 一阶微分方程有时也写成如下对称形式： P(x,y)dx+O(x,y)dy=0 在这种方程中，变量x与y是对称的 若把x看作自变量、y看作未知函数，则当Qxy)0时，有 少=_Px,y dx O(x,y) 若把y看作自变量、x看作未知函数，则当P(x,y)≠0时，有 dxa(x,y) 少Pxy) 可分离变量的微分方程： 如果一个一阶微分方程能写成 gy)=fx)dk(或写成y'=ox)y》 的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和，另一端只含x的 第6页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 6 页 §12 2 可分离变量的微分方程 观察与分析 1 求微分方程 y2x 的通解 为此把方程两边积分 得 yx 2 C 一般地 方程 yf(x)的通解为 y f x dxC  ( ) (此处积分后不再加任意常 数) 2 求微分方程 y2xy 2 的通解 因为 y 是未知的 所以积分  xy dx 2 2 无法进行 方程两边直 接积分不能求出通解 为求通解可将方程变为 dy xdx y 2 1 2   两边积分 得 x C y    1 2  或 x C y   2 1  可以验证函数 x C y   2 1 是原方程的通解 一般地 如果一阶微分方程 y(x, y)能写成 g(y)dyf(x)dx 形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G(y)F(x)C 由方程 G(y)F(x)C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程 一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量 x 与 y 是对称的 若把 x 看作自变量、y 看作未知函数 则当 Q(x,y)0 时 有 ( , ) ( , ) Q x y P x y dx dy   若把 y 看作自变量、x 看作未知函数 则当 P(x,y)0 时 有 ( , ) ( , ) P x y Q x y dy dx   可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dyf(x)dx (或写成 y(x)(y)) 的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy 另一端只含 x 的