定理2若fx)能展成x的幂级数，则这种展开式是 唯一的，且与它的麦克劳林级数相同. 证：设f(心)所展成的幂级数为 f(x)=a+ax+a2x2+.+anx”+.,x∈(-R,R) 则 ao=f(0) f'(x)=a1+2a2x+.+nanx"-1+.;a1=f'(0) f"(x)=21a2+.+(n-1)anx”-2+;a2=i,∫"(0) fm(x)=nlan+. an=mfD(0) 显然结论成立· 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一 的 , 且与它的麦克劳林级数相同 . 证 : 设 f (x) 所展成的幂级数为 )( ),(, 2 210 RRxxaxaxaaxf n " n " −∈+++++= 则 2)( ; 1 ′ 21 " n xnaxaaxf n − ++++= " )0( 1 a = f ′ )1(!2)( ; 2 ′′ 2 " n xannaxf n − +−++= " )0( !2 1 2 = fa ′′ " " " ;!)( n)( anxf n += " )0()( ! 1 n n n = fa " " " 显然结论成立 . )0( 0 a = f 定理 2