《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 证明ax,m)=m-)+G)=0+f化，)=f代) ②正有理数一只m>0 f(mx)=f(x)+f((m-1)x)=.=mf(x) f)=a克=停→f停-/) 巴)=m合-g)即)=)→)=0 f-)+fx)=f0)=0→f-x)=-fx)(f(x+0)=-fx)+f0)=f(0)=0), f-骨=-”0 所以，对任意有理数r,f)=四%，取，→名即可得证。 例14如何把闭区间连续函数的性质推广到开区间？ ①feC0,左端点a(可以为o),右端点b(可以为o):fa)=A,f6)=B (小B可以是-0或+0)A<B(约定-0<实数<+0)，则对任意实数c∈(AB), 3x∈I使fx)=c ②feca,b),fa)=f6)=1,则盟、至少有-个存在 ③feCa,b),fa小fb)存在，则f在ab)上有界. ④)feC(a,.b),f(a人fb)存在，则f在(a,b)上一致连续 《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 9 证明 ⑴ 0 x , 0 0 0 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) (0) ( ) ( ) x x x x f x f x x f x f f x f x → → = − + = + = . ⑵ 正有理数 ( 0) m r m n n =  、 , f mx f x f m x mf x ( ) ( ) (( 1) ) ( ) = + − = = , 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x f x f n nf f f x n n n n =  =  = , ( ) ( ) ( ) m x m f x mf f x n n n = = 即 f rx rf x f r rf ( ) ( ) ( ) (1) =  = f x f x f ( ) ( ) (0) 0 − + = =  − = − f x f x ( ) ( ) （ f x f x f f ( 0) ( ) (0) (0) 0 + = +  = ）, ( ) ( ) (1) m m m f f f n n n − = − = − . 所以,对任意有理数 r , f r rf ( ) (1) = 0 x ,取 n 0 r x → 即可得证. 例 14 如何把闭区间连续函数的性质推广到开区间？ ⑴ f I  ( ) ,左端点 a （可以为 − ）,右端点 b （可以为 + ）； f a A ( ) + = , f b B ( ) − = （ A B 、 可以是 − 或 + ） A B  （约定 −  实数  + ）,则对任意实数 c A B ( , ) , 0   x I 使 0 f x c ( ) = . ⑵ f a b  ( , ) , f a f b l ( ) ( ) + − = = ,则 min ( ) a x b f x   、 ( ) a x b max f x   至少有一个存在. ⑶ f a b  ( , ) , f a f b ( ) ( ) + − 、 存在,则 f 在 ( , ) a b 上有界. ⑷ f a b  ( , ) , f a f b ( ) ( ) + − 、 存在,则 f 在 ( , ) a b 上一致连续