《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 )在x=1连续，放6>0，当x-1K心时F-1k6/2.从而当，∈U0,6)且 1x-xk④时lG-A-+l压-1kε12+812=6 取6=min,d,d},则当，∈0，+o)且lx-为k6时有fx)-f(x)水6 证二6>0，取8=2>0，则当本名∈o)且l-￥K可时V氏-ke feC0,2]→f在0,2】上-致连续. 6>0,当，∈0,2)，|x-为k6时V民-√k 取i=min低，则当，∈0，+o)且3-xk6时民-kE.# 同法可证：∫在[a,q、【c,上一致连续→∫在[a,上一致连续. 例12feCa,),证明：若对一切有理数re[a,有f)=0,则f)=0,xea, (②对任意两个有理数，5∈a,片<5有f)<f),则f)为a,上严格递增函数 证明)x∈a,1,取有理数列→x,∈a,),0=m)=,) ②x∈a,<5.取公→、→，、为有理数，<、>为， 由连续性及f心，<f心)得八)≤f),=a或=b时取极限 如存在<使：)=)，则由/单调递增性→%<x<有f)=) 但在氏，]之间有无数有理数，矛盾.故可知()在[a,上严格单调递增 例13f)在x=0连续，且对x,e(-,+o)有fx+)=f)+f0) 证明)feC(-n+o),②f)=f0x.《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 8 f x( ) 在 x =1 连续,故 3    0 ,当 3 | 1| x −   时 | 1| / 2 x −   .从而当 1 2 3 x x U , (1, )   且 1 2 3 | | x x −   时 1 2 1 2 | | | 1| | 1| / 2 / 2 x x x x −  − + −  + =    取 min{ , , } 1 2 3     = ,则当 1 2 x x, [0, )  + 且 1 2 | | x x −   时有 1 2 | ( ) ( ) | f x f x −   . 证二   0,取 1   =  2 0 ,则当 1 2 x x, [1, )  + 且 1 2 1 | | x x −   时 1 2 | | x x −   f  [0,2]  f 在 [0, 2] 上一致连续. 2    0 ,当 1 2 x x, [0,2]  , 1 2 2 | | x x −   时 1 2 | | x x −   取 min{ , ,1} 1 2    = ,则当 1 2 x x, [0, )  + 且 1 2 | | x x −   时 1 2 | | x x −   . # 同法可证： f 在 [ , ] a c 、[ , ] c b 上一致连续  f 在 [ , ] a b 上一致连续. 例 12 f a b  [ , ] ,证明：⑴若对一切有理数 r a b [ , ] 有 f r( ) 0 = ,则 f x x a b ( ) 0, [ , ]   ⑵对任意两个有理数 1 2 r r a b , [ , ]  , 1 2 r r  有 1 2 f r f r ( ) ( )  ,则 f x( ) 为 [ , ] a b 上严格递增函数. 证明 ⑴ 0   x a b [ , ] ,取有理数列 n 0 r x → , [ , ] n r a b  , 0 0 lim ( ) ( ) n n f r f x → = = . ⑵ 1 2   x x a b , [ , ] , 1 2 x x  .取 n 1 r x  → 、 n 2 r x → , n r  、 n r  为有理数, n 1 r x   、 n 2 r x  , 由连续性及 ( ) ( ) n n f r f r    得 1 2 f x f x ( ) ( )  , 1 x a = 或 2 x b = 时取极限 如存在 1 2 x x  使 1 2 f x f x ( ) ( ) = ,则由 f 单调递增性 1 2     x x x 有 1 f x f x ( ) ( ) = 但在 1 2 [ , ] x x 之间有无数有理数,矛盾.故可知 f x( ) 在 [ , ] a b 上严格单调递增 例 13 f x( ) 在 x = 0 连续,且对   − + x y, ( , ) 有 f x y f x f y ( ) ( ) ( ) + = + 证明 ⑴ f  − + ( , ) ；⑵ f x f x ( ) (1) =