《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 例10feC0,f0)=f0,证明，对任何正整数，35∈0]使行+分=f份 证明”=1时，取5=0即可：>1时，令F闭=/x+片-) 正-e901-之，如xe1-之，Pg0,则P正该负 设F>0,ea-由即e+归>→o<<9=0 矛盾. 证=F0+P++R片-0-0=0 由例735e0食G0-之P白-0 例11厅在0，+)上一致连续。 证一GeC0,刂一F在0，上一致连续：V(在+)上也一致连续，证明如下： -后 6>0. 2 ,故只要取6=26，但从上述结果还不能马上推出 √乐在0，+0上一致连续. (e>0,36>0,当lx-,K6时lf)-水E:如∈0，本eL+o)怎么办？) e>0,6>≥0，当本∈0，3-k8时-Ke 36=26>0,当西e0+∞)，1-xK时-Ke」 《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 7 例 10 f  [0,1] , f (0) = f (1) ,证明,对任何正整数 n ,  [0,1] 使 ) ( ) 1 ( f  n f + = . 证明 n =1 时,取  = 0 即可； n 1 时,令 ) ( ) 1 ( ) ( f x n F x = f x + − 证一 1 F x( ) [0,1 ] n  − ,如 ] 1 [0,1 n x  − , F(x)  0 ,则 F(x) 恒正或恒负 设 F(x)  0 , ] 1 [0,1 n x  − 即 ) ( ) 1 ( f x n f x +  ) ( ) (1) 1 (0) ( f n n f n  f  f  = , 矛盾. 证二 ) (1) (0) 0 1 ) ( 1 (0) ( = − = − + + + f f n n F n F F  , 由例 7,  [0,1] 使 ( ) 0 1 ( ) 1 =  = = n i n i F n F  . 例 11 x 在 (0,+) 上一致连续. 证一 x   [0,1] x 在 [0,1] 上一致连续； x 在 (1,+) 上也一致连续,证明如下：   0 , 2 | | | | | | 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x −  + − − = ,故只要取  = 2 ,但从上述结果还不能马上推出 x 在 [0,+) 上一致连续. （   0,   0 ,当 | x1 − x2 |  时 1 2 | ( ) ( ) | f x f x −   ；如 1 x [0,1] , 2 x  + (1, ) 怎么办？）   0, 1    0 ,当 x x 1 2 , 0,1   , 1 2 1 | | x x −   时 1 2 | | x x −   ； 2  =   2 0 ,当 1 2 x x, (1, )  + , 1 2 2 | | x x −   时 1 2 | | x x −  