《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 证明若f)有间断点∈a,1,由上题，f八)≠f)或x)≠f) 不妨设为前者，fx)递增，故有：f@sfsf。-0)sf,),x∈[a,o): f(b)≥f(x)≥f(x+0)≥f(xo),x∈(x,这说明对一切x∈a,b,不能取到 ((x。-0),f(x+0》内的值.这与己知矛盾，故fx)在[a,)上不可能有间断点，即连续。 例7证明：若了eCa,a<<x<<x,<b,则5e,x】使 f=)tf)++f) n 正明设)盟)f,)=x）,e,x r) 则)s 2fx,) f) 5.知)。或，”，则5即为所求.知上 式净不第的心 n—<fx) 由介值定理即得证 例8f()eC[0,2a且fo)=f(2a).证明：35e[0,d使f(5)=f(5+d）. 证明令Fx)=f)-fx+a),xe0,a 若FO)F(a=0→0或a即为所求：否则FOFa=-(/0)-fa2<0 由介值定理即得证. 例9∫eCa,b),r∈[a,b],f(x)≠0，则在[a,上恒正或恒负（此结论非常有用）. 证明：反证，用零点存在定理即得.《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 6 证明 若 f (x) 有间断点 [ , ] x0  a b ,由上题, ( ) ( ) 0 0 f x  f x − 或 ( ) ( ) 0 0 + f x  f x 不妨设为前者, f (x) 递增,故有： ( ) ( ) ( 0) ( ) 0 0 f a  f x  f x −  f x , [ , ) 0 x  a x ； ( ) ( ) ( 0) ( ) 0 0 f b  f x  f x +  f x , ( , ] x  x0 b ,这说明对一切 x [a,b] ,不能取到 ( ( 0), ( 0)) f x0 − f x0 + 内的值.这与已知矛盾,故 f (x) 在 [a,b] 上不可能有间断点,即连续. 例 7 证明：若 f a b  [ , ] , a  x1  x2  xn  b ,则 [ , ] 1 n   x x 使 n f x f x f x f n ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + 2 + + =   . 证明 设 1 ( ) min ( ) l i i n f x f x   = , 1 ( ) max ( ) m i i n f x f x   = , , { , , , } l m 1 2 n x x  x x  x , 则 ( ) ( ) ( ) 1 m n i i l f x n f x f x   = .如 n f x f x n i i l = = 1 ( ) ( ) 或 n f x f x n i i m = = 1 ( ) ( ) ,则 l x 或 m x 即为所求.如上 二式皆不相等,则 ( ) ( ) ( ) 1 m n i i l f x n f x f x   = ,由介值定理即得证. 例 8 f x a ( ) [0,2 ]  且 f (0) = f (2a) .证明：  [0, a] 使 f ( ) = f ( + a) . 证明 令 F(x) = f (x) − f (x + a) , x [0,a] . 若 F(0)F(a) = 0  0 或 a 即为所求；否则 (0) ( ) ( (0) ( )) 0 2 F F a = − f − f a  由介值定理即得证. 例 9 f a b  [ , ] , x [a,b] , f (x)  0 ,则 f 在 [a,b] 上恒正或恒负（此结论非常有用）. 证明：反证,用零点存在定理即得