《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 ②)1，f)=-1,了0)=1，故了在x=0右连续非左连续，为第一类间断点。 ③)七≠mm∈时，在的右侧取有理数列{D.}及无理数列g.,使P。=。 -血4.，于是有.)=血p→血，*0而g.)=0→典国不存在，故 x。≠m(m∈Z为∫的第二类间断点： =mmeR)时，|fx)-f(x)Hfx)sin x→时.s如m→smm,=0.故/)-)非0→m)=化，) （15nH5血-s,上21cosx+,)m2x-x-x 此例可看出，它有无数多个孤立的连续点，而在被这些连续点隔开的每个开区间内，函 数是处处不连续的.实际上，f()=sinx·D(x) 推广P:R→R连续，f)=)D()(x∈R),则P的零点是∫的连续点，其余的点 是∫的第二类间断点。 此例也说明：一个函数在一点连续，并不意味着它在x的某个领域内也连续 例5证明：设J为区间上的单调函数，若∈1为厂的间断点，则必是∫的第一类间断 点 证明设)单调递增，则r<,)≤f,）,从而f)在的左领域上单调递增有 上界，因而票因存在：同理，化也存在，再由单调性)≤，)≤) x为间断点→f)≠f,)户，)-f)>0→为第一类间断点. 例6设f为la,上递增函数，其值域为fa,fb),证明f)eC[a,b. 《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 5 ⑵ lim ( ) 1 0 = → + f x x , lim ( ) 1 0 = − → − f x x , f (0) = 1 ,故 f 在 x = 0 右连续非左连续,为第一类间断点. ⑶ 0 x m m   ( ) 时,在 0 x 的右侧取有理数列 { } pn 及无理数列 { }n q ,使 0 lim p x n n = → n n q → = lim ,于是有 f ( pn ) = sin pn → sin x0  0 而 f (qn ) = 0 lim ( ) 0 f x x x  → + 不存在,故 0 x m m   ( ) 为 f 的第二类间断点； 0 x m m =  ( ) 时, | ( ) ( ) | | ( ) | |sin | 0 f x − f x = f x  x 0 x → x 时, sin x → sin x0 = 0 .故 − =  → lim | ( ) ( 0 ) | 0 0 f x f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → （或： ( ) | | | 2 ( )sin 2 |sin | |sin sin | 2 | cos 0 0 0 0 x = x − x = x + x x − x   x − x      ） 此例可看出,它有无数多个孤立的连续点,而在被这些连续点隔开的每个开区间内,函 数是处处不连续的.实际上, f (x) = sin x  D(x) . 推广  ： → 连续, f (x) = (x) D(x) （ x ）,则  的零点是 f 的连续点,其余的点 是 f 的第二类间断点. 此例也说明：一个函数在一点 0 x 连续,并不意味着它在 0 x 的某个领域内也连续. 例 5 证明：设 f 为区间 I 上的单调函数,若 x  I 0 为 f 的间断点,则必是 f 的第一类间断 点. 证明 设 f (x) 单调递增,则 0 x  x , ( ) ( ) 0 f x  f x ,从而 f (x) 在 0 x 的左领域上单调递增有 上界,因而 lim ( ) 0 f x x x → − 存在；同理, ( ) 0 + f x 也存在,再由单调性 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x  f x  f x 0 x 为间断点 ( ) ( ) 0 0 − +  f x  f x  ( 0 ) − ( 0 )  0 + − f x f x 0  x 为第一类间断点. 例 6 设 f (x) 为 [a,b] 上递增函数,其值域为 [ f (a), f (b)] ,证明 f (x) C[a,b]