《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 D如，)>c,同上可证F)=c=F,) 面)如l/kc,同上可证画F()=,)=Fx) m)如o)=C,g>0,36>0当xeU.时l/)-水6且)>号 于是当eU,⊙时f<c+ ,从而F(x)=c或F()=fx),因而 F-F,非{-f水e |c-c=0<6 →F(x)在xo连续 v)若x)=-C,同v)可证 注意典型错误：设/)K-c,则F,)=-c.因此，mF(闭=-C=F,) 例4讨论下列函数的连续性（指出间断点及其类型）》 「x2-1 ()=x401 2-1 fx)=12+1 x≠0 (1) 0. x=0 (2) 1. x=0 )=血为有理数 (0 x为无理数 (④) f-n1x刘 解(1由初等函数连续性知，∫在x≠0,1连续， 因为▣=烟生-2≠0 (无定义)，故x=1为可去间断点： 因包闭华 ,故x=0为第二类间断点.《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 4 ii）如 f (x )  c 0 ,同上可证 lim ( ) ( ) 0 0 F x c F x x x = = → ； iii）如 | f (x ) | c 0 ,同上可证 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 0 F x f x F x x x = = → . iv）如 f (x ) = c 0 ,  0,  0 当 ( , ) x U x0  时 | ( ) − ( ) |  0 f x f x 且 2 ( ) c f x  , 于是当 ( , ) x U x0  时  f x  c +  c ( ) 2 ,从而 F(x) = c 或 F(x) = f (x) ,因而    −  − =  − =   | ( ) ( ) | | | 0 | ( ) ( ) | 0 0 f x f x c c F x F x  F(x) 在 0 x 连续 v）若 f (x ) = −c 0 ,同 iv）可证. 注意典型错误：设 f (x )  −c 0 ,则 F(x ) = −c 0 .因此, lim ( ) ( ) 0 0 F x c F x x x = − = → . 例 4 讨论下列函数的连续性（指出间断点及其类型） ⑴ 2 1 , 0,1 ( ) ( 1) 0, 0 x x f x x x x  −   =  −   = ⑵ 1 1 2 1 , 0 ( ) 2 1 1, 0 x x x f x x   −   =  +   = ⑶ sin , ( ) 0, x x f x x   =   为有理数 为无理数 ⑷ ln | | 1 ( ) x f x = 解 ⑴由初等函数连续性知, f 在 x  0,1 连续, 因为 2 (1) 1 lim ( ) lim 1 1 f x x f x x x =  + = → → （无定义）,故 x =1 为可去间断点； 因 =  + = → → x x f x x x 1 lim ( ) lim 0 0 ,故 x = 0 为第二类间断点