《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 取6=m时，d,则当lx-6k6时.广闭-产，水M后=e )=有理数 反之不成立，如 一x,x为无理数 例2若对Vc>0,∫在a+c,b-d上连续，是否能由此推出f在(a,b)内连续？ 解能.x,∈(ab),36,>0使a+,≤，≤b-60即∈[a+6o,b-6lca,1 （知取m06≥当， 2,2 由已知得，()在0连续，再由0的任意性即可得结论. 注意以下不严格的做法： a+8)=amb-8)=bma+&,b-=(a.),故 例3f∈C(R),c>0,证明 「-c,fx)<-c F(x)=f(x).If(x)c c, f(x)>c 在R上连续 证-=l/ce-e 2 证二比eR iD如(xo)<-c,则36>0，当x∈U(x,)时f)<-c →xeU.d时F)=-c,故F)=-c=F) 《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 3 取 min{ , }  =  1  2 ,则当 | x − x0 |  时,   −   = M | f (x) f (x0 ) | M 2 2 . 反之不成立,如 , ( ) , x x f x x x  =  − 为有理数 为无理数 . 例 2 若对   0, f 在 [a +  ,b −  ] 上连续,是否能由此推出 f 在 (a,b) 内连续？ 解 能. ( , ) x0  a b ,  0  0 使 0 0 0 a +   x  b − 即 [ , ] [ , ] x0  a +  0 b − 0  a b . （如取 } 2 , 2 min{ 0 0 0 x − a b − x  = ） 由已知得, f (x) 在 0 x 连续,再由 0 x 的任意性即可得结论. 注意以下不严格的做法： 0 lim( ) a a   → + = , 0 lim( ) b b   → − =  lim[ , ] ( , ) 0 a + b − = a b →    ,故. 例 3 f  ( ) , c  0 ,证明 , ( ) ( ) ( ), | ( ) | , ( ) c f x c F x f x f x c c f x c −  −  =      在 R 上连续. 证一 2 | ( ) | | ( ) | ( ) f x c f x c F x + − − = 证二 0   x i）如 f (x )  −c 0 ,则   0 ,当 ( , ) x U x0  时 f (x)  −c , ( , )  x U x0  时 F(x) = −c ,故 lim ( ) ( ) 0 0 F x c F x x x = − = →