《数学分析》上册教案 第四章连续函数 海南大学数学系 1、f)在闭区间a,1上一致连续⊙feCa,b1, 2、fx)在开区间(a,b)上一致连续一feC(a,b)且f(a)、f(b)存在： 3、不一致连续口3o>0,δ>0,3，x3∈I,虽x-x,K6但fx)-fx)P60 (伍)初等函数在其定义域上连续 二、连续函数的性质 一)局部性质：局部有界性、局部保号性、四则运算法则、复合函数的连续性 (二)整体性质： 1、闭区间上连续函数必有界：（有界性） 2、闭区间上连续函数必取到最大值、最小值：（最值性） 3、介值性、零点存在定理： 4、反函数的连续性定理： 5、feCa,口f在a,b1上一致连续 三、例题和讨论 例1若f在点0连续，则f八、也在点0连续，反之如何？ 证明1f八在点连续易证.现证∫在点x0连续， IS(x)-f(xo)Hf(x)+f(xo)I-If(x)-f(xo)I ∫在点o连续=6>0，M>0,当x∈U,d)时lfx)kM: 6>0,36,>0,当x-%k时.1/)-水是《数学分析》上册教案 第四章 连续函数 海南大学数学系 2 1、 f (x) 在闭区间 [a,b] 上一致连续  f a b  [ , ] ； 2、 f (x) 在开区间 ( , ) a b 上一致连续  f a b  ( , ) 且 f a( ) + 、 f b( ) − 存在； 3、不一致连续   0  0 ,  0, x x I 1 2 , ,虽 | x1 − x2 |  但 1 2 0 | f (x ) − f (x ) |  (五) 初等函数在其定义域上连续 二、连续函数的性质 (一) 局部性质：局部有界性、局部保号性、四则运算法则、复合函数的连续性. (二) 整体性质： 1、闭区间上连续函数必有界；（有界性） 2、闭区间上连续函数必取到最大值、最小值；（最值性） 3、介值性、零点存在定理； 4、反函数的连续性定理； 5、 f a b   [ , ] f 在 [a,b] 上一致连续. 三、例题和讨论 例 1 若 f 在点 0 x 连续,则 | f |、 2 f 也在点 0 x 连续,反之如何？ 证明 | f | 在点 0 x 连续易证.现证 2 f 在点 0 x 连续, | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 0 0 0 2 2 f x − f x = f x + f x  f x − f x , f 在点 0 x 连续   1  0 , M  0,当 0 1 x U x  ( , )  时 | f (x) | M ；   0,  2  0 ,当 0 2 | x − x |  时, M f x f x  | ( ) − ( 0 ) |