y-y0o2-20 4图等 F→ 所以与S正交。(8分 方法二 OF x-x ax ax ax =0(1) aL=-2F=y-y0--=0(2),左边三式相加,得-=0, ay koLa,aF_2-0-2x=0(3) 即=A 12设D=(x,y)∈R|≤a≤ba>0b>0,f(x,y在D上连续在D内可微 且满足方程y+y=kf(x,y)(常数k≠0),若在D的边界上∫(x,y)=0,试证 f(x,y)在D上恒为零。 [证]设∫(x,y)在D上不恒为零。因为函数∫(x,y)在有界闭域D上连续,所以 f(x,y)在上存在最大值M和最小值m,且最大值M和最小值m不能同时为零。 不妨设最小值m≠0,因为在D的边界上∫(x,y)=0,于是必有D内的点(x0,y0)使得 f(x0y)=m≠0,由f(x,y)在D内可微,点(x0,y)必为极值点(驻点) 所以9(xy)=m,y)=0,这与(x,)+(xm,y) (x0,y)≠0 矛盾!因此f(x,y)在D上恒为零。 13.求函数f(x,y,x)=hx+hy+3hz在球面x2+y2+z2=5r2(x>0,y>0 z>0)上的最大值,并证明对任何正数a,b,c成立不等式abc3≤21f 14.设=l(x,y,z)在单连域g∈R内可微,且满足grd≠0,试证明=u(x,y,z) 在g内无封闭等值面。 15.假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是 P=18-2Q1,B2=12-g2,其中B和P2分别表示该产品在两个市场的销售(即需求量, 单位:吨),并且该企业生产这种产品的总成本函数是C=2Q+5,其中Q=Q+Q2 (1)如果该企业实行价格差别策略,试确定两个市场上 该产品的销售量和价格,使该企业获最大利润; (2)如果该企业实行价格无差别策略,试确定两个市场=       − − − T r z z r y y r x x0 0 0 P0 T z F y F x F               0 0 0 p p r n   =  ， 所以 0 r  与 S 正交。（8 分） 方法二： 0 (3) 0 (2) 0 ( 1) 0 0 0 =   − − =   −   =   =   − − =   −   =   =   − − =   −   =   z F r z z z F z r z L k y F r y y y F y r y L j x F r x x x F x r x L i          ，左边三式相加，得 − n = 0 r r    ， 即 r n   0 =  . 12．设 {( , ) , , 0, 0} 2 D = x y  R x  a y  b a  b  , f (x, y) 在 D 上连续，在 D 内可微， 且满足方程 = ( , ),(  0)   +   kf x y k y f x f 常数 ，若在 D 的边界上 f (x, y) = 0 ，试证 f (x, y) 在 D 上恒为零。 [证] 设 f (x, y) 在 D 上不恒为零。因为函数 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续，所以 f (x, y) 在上存在最大值 M 和最小值 m ，且最大值 M 和最小值 m 不能同时为零。 不妨设最小值 m  0 ，因为在 D 的边界上 f (x, y) = 0 ，于是必有 D 内的点 ( , ) 0 0 x y 使得 f (x0 y0 ) = m  0 ，由 f (x, y) 在 D 内可微，点 ( , ) 0 0 x y 必为极值点（驻点）。 所以 0 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 =   =   y f x y x f x y ，这与 0 0 0 0 0 0 0 =    +   ( , ) ( , ) ( , ) kf x y y f x y x f x y ， 矛盾！因此 f (x, y) 在 D 上恒为零。 13. 求函数 f (x, y,z) = ln x + ln y + 3ln z 在球面 2 2 2 2 x + y + z = 5r （ x  0， y  0 ， z  0 ）上的最大值，并证明对任何正数 a ，b ，c 成立不等式 3 5 ) 5 27( a b c abc + +  . 14. 设 u = u( x, y,z ) 在单连域 3  R 内可微，且满足 gradu  0 ，试证明 u = u( x, y,z ) 在  内无封闭等值面。 15.假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 P1 =18− 2Q1，P2 =12 −Q2 ，其中 P1 和 P2 分别表示该产品在两个市场的销售（即需求量， 单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C = 2Q + 5 ，其中 Q = Q1 +Q2 。 (1) 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上 该产品的销售量和价格，使该企业获最大利润； (2) 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场