7.已知x=cosv,y=usnv,z=l,试求a 8.设函数z=f(x,y)是由方程xz+√x2+y2+z2=√2确定的,则函数 二=f(x,y)在点(,0,-1)的微分d 9.设∫(x,y)=(x+y)(x,y),其中(x,y)在点(0,0)处连续,证明∫(x,y)在(0,0) 点处可微,并写出全微分d(x,y)。 +Ax=1 10.设x=p(,4)是微分方程定解问题{dt 的解,A∈R为参数 0 (1)写出解φ(t,4)的表达式 (2)证明(t,4)在t-λ全平面连续且可微。(7分) [解]≠0时:x=p(,4)=(c-e-),由d(0,)=0,c=1 λ=0时:x=p(,)=t,因此得到 p(,)={元 (1-e-)≠0 只需讨论关于λ的连续性与可微性。 m1(1-e)=t=0(0),因此o(t,4)连续。 A→0 λ≠0时,,=-(1-e)+ 2=0时0(0=m<(1-e-)-1 1 (1-e-) ao(t A→002A→0A 偏导数连续,所以可微。 11.设空间一光滑曲面S的方程为F(x,y,-)=0,B(x0,y,0)为曲面S外的一点证明 若S上的点Q使得线段PQ是P与S上任意一点连线的最短线段,则向量PQ必与曲面S 在该点的切平面垂直 [证]考虑极小化问题 Mmr(x,y,)=√(x-x0)2+(y-y0)2+(=-=0)2 X 方法-:由 grad I=元· grad F得7. 已知 x = u cosv, y = usin v,z = uv ，试求 y z x z     , . 8. 设函数 z = f (x, y) 是由方程 2 2 2 2 xyz + x + y + z = 确定的,则函数 z = f (x, y) 在点 (1,0,−1) 的微分 dz = ( ) 9. 设 f (x, y) = (x + y)(x, y) ，其中 (x, y) 在点（0,0）处连续，证明 f ( x, y) 在（0,0） 点处可微，并写出全微分 df ( x, y) 。 10.设 x = (t, ) 是微分方程定解问题      = + = = 0 1 t 0 x x dt dx  的解，  R 为参数。 （1）写出解 (t, ) 的表达式; （2）证明 (t, ) 在 t − 全平面连续且可微。（7 分） [解]   0 时: ( ), 1 ( , ) t x t c e     − = = − 由 (0, ) = 0 , c =1  = 0 时: x = (t, ) = t , 因此得到      = −  = − 0 (1 ) 0 1 ( , )       t e t t ， 只需讨论关于  的连续性与可微性。 (1 ) ( , 0) 1 lim 0 e t t t     − = = − → , 因此 (t , ) 连续。   0 时,       t t te e − − = − − +   (1 ) 1 2  = 0 时, 2 (1 ) 1 lim ( , 0) 2 0 t e t t t = − − − =   − →                   = − =         = − − +   − − → → ( , 0) 2 (1 ) 1 lim lim 2 2 0 0 t e t t e t t 偏导数连续，所以可微。 11. 设空间一光滑曲面 S 的方程为 F(x, y,z) = 0 , ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 为曲面 S 外的一点.证明： 若 S 上的点 Q 使得线段 P0Q 是 P0 与 S 上任意一点连线的最短线段，则向量 P0Q 必与曲面 S 在该点的切平面垂直。 [证] 考虑极小化问题     = = − + − + − . . ( , , ) 0 ( , , ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 s t F x y z Min r x y z x x y y z z 方法一：由 grad r =   grad F 得