第九章区间对象族系统的鲁棒稳定性检验 §94棱边定理 确定了闭环系统特征多项式族的值集之后,应用除零原理,可以得到区间对象族系统的鲁棒稳定性冋 题的32棱边定理。该定理首先由 Chapelet& Bhattacharyya提出。然而,这个结果实际上是一般棱边定 理( Bartlett., Hellot& Huang L.)的一个特例 定理θ2若控制器的 Nyquist曲线C(jω)行经所有4个象限,则它鲁棒镇定区间对象族P(s,δ),当且仅 当它镇定所有3个棱边对象E;,;(s,),=1,2,3,4,j=1,2,8 证明:必要性是显然的,因为E1(s,)∈P(s,6),所以只证明充分性。仍用反证法。设C(s)镇定所有32 个棱边对象E,(s,A),但F(s,5)并不鲁棒稳定。我们先证明,在C(s)镇定所有32个棱边对象E,(s,)) 的条件下,0∈I(0,6),容易算出 r(0, 8)=doa0+cobo+[dowD,o cowN, ol (9.59) 于是 mint(. 6 dao +cobo -(dowD.o+cowN,o maxr(0, 6) dao +cobo+(dowD. o+ CowN,o 而联结这两点的直线位于实轴上,且包含了所有32棱边多项式s=0时的值集。由32棱边多项式的稳 定性知0gr(0 若F(s,6)不鲁棒稳定,由除零原理,必存在>0使得s=0位于值集的边界上。于是存在棱边多 项式fE,k(s,)和A∈0,1满足fE,k(j,A)=0.但这与fg,k(s,A)稳定的假设矛盾 于是,区间对象族系统的鲁棒稳定性问题等价于一组棱边多项式族的稳定性检验问题。定理87提 供了检验棱边多项式族的稳定性的充要条件。 §95顶点定理 上一节证明的32棱边定理涉及的是一般的控制器,并假设其 Nyquist曲线C(ju)行经所有4个象 限。显然,如果曲线C()没有行经所有4个象限,则需检验的棱边的条数将减少。若C(ju)仅位于一个 象限,则只需检验8个棱边对象。若再对控制器的结构做某种限制,则棱边问题还可能简化为顶点问题 然,限制控制器的结构也可能使镇定问题无解。 在工程实际中,一阶控制器,例如比例-积分、超前、滞后等控制器因其结构简单,容易实现且参数容 易整定而得到广泛的应用。在这一节里我们将证明,当控制器为一阶时,即C(s)=k(s+z)/(s+p),z≠p, 32棱边定理将简化为16顶点定理。对于比例-积分、超前、滞后等控制器,还可进一步简化为8顶点定 理 951一阶超前控制器 在一阶控制器中,设p>z≥0,k>0,则由于 arg g C(w)=arctan --arctan->0 C(j)将总是位于第I象限。此时 9.60) 而(9.34)式中产生值集顶点的4个向量为 f? f3 (9.61)✏ ✑ ✒ ✓✝✔✖✕✘✗✝✙✛✚✝✜✖✢✤✣✝✥✤✦✁✧✁★✠✩☎✪✠✫✝✬✝✭ ✮✰✯✲✱ ✳✵✴✷✶✹✸✻✺ ✼✝✽☎✾✝✿✁❀✠❁✁❂✝❃✠❄✝❅✖❆✝❇✠❈☎❉✁❊☎❋✝●✖❍✤■❑❏✠▲☎▼✁◆✝❖✝P✤■❘◗☎❙✁❚✝❯✤❱✠❲❨❳✝❩✠❈☎❁✁❂✤❉✁❬✝❭✠❪✠✽✖❫✤❴ ❵❉☛❛ ❜❑❝✝❞✠✽✖P☎❡❣❢✠✽✖P✠❤✝✐✷❥❧❦♥♠♦♣✰q r r♦s❑t✤✉✈♠♦s s ♦✇♠♦①②②♦④③✤⑤✖❡❣⑥✝⑦☎■❣⑧✝⑨✝⑩✝❶✠❷☎❸✁❹✠❺✠❻✝❼✝❝✠❞✠✽ P❾❽ ✉✈♦① s r q s s ❿➁➀✲➂r r➂s✲t✤➀✲➃♦➄➅➇➆➉➈ ➊♥❉✖❻✖⑨✝❃✝➋☎❡ ➌✖➍➏➎➁➐ ➑✤➒✝➓☎➔✖→↔➣➙↕❑➛ ➜➝➞➟ ➠➢➡✁➤➦➥④❽ ➧➨♥➊➢➩☎➫✠➭✠➯❾➲❘➳✤➵✠➸✠■✖➺✠➻✠➼✁➽☎➾✝➚✷➪✠➶✁➹✠➵✝➘❾➴✌❽ ➷ ➬ ➮➊ ➱❑✃✛❐✝❒ ✃❨➻✁➾✖➚☎➭✝➯❾❮❰➇➳✝Ï✝Ð☎➹✝➵❾Ñ✲Ò Ó Ô ❽ ➷ ➬ Õ✰➊ ➱ Ö➉× ✏ ➬ ❜ ➬ ❛ ➬ Ø ➱ ➧❘× ✏ ➬ ❜ ➬ Ù Ù Ù ➬ ✒✰Ú Û☎ÜÞÝ❣ß✖à❫✝❺✠á✝⑥☎❉✠■❨â✖ã☛Ñ✲Ò Ó Ô✰❽ ➷ ➬ Õ✰➊♥ä➇➴✌❽ ➷ ➬ ➮✰➊ ➈➉å✤❙✖æ✁ç↔è✁é✁ê✝❫✤❡ìë✠▲✝í✝ç✠î☎❡❣ï➙➥④❽ ➷ ➊➢ð✠✽✖å✝ñ➙❛ ❜ ⑨✠❝✠❞✠❳✠❩➦Ñ✲Ò Ó Ô ❽ ➷ ➬ Õ✰➊ ❿✰ò➙ó➇❽ ➷ ➬ ➮✰➊✈ô☎õ✝❬✠❭☎❪✠✽☎❡❨ö☎÷✖✐✠ç✻è✖■✛ø➦➥④❽ ➷ ➊ùð☎✽✝å✠ñ➦❛ ❜❘⑨✠❝✠❞✠❳✠❩➦Ñ✲Ò Ó Ô ❽ ➷ ➬ Õ✰➊ ❉✁ú✝û✠ü✠■☛ý❣þä✛ÿ➉❽ ý ➬ ➮➊ ➈✁￾✄✂✆☎✤⑤✖■ ÿ➉❽ ý ➬ ➮ ➊➉×✞✝✟ ✠✟☛✡✆☞✟ ✌✟✍✡✏✎✝✟✑✓✒♥Ó ✟✔☞✟ ✑✓✕✈Ó ✟ ✖✓✗✙✘✒♥Ó ✟ ✘✕✈Ó ✟✛✚ Ù ❽ ✑ ➈ ✜ ✑ ➊ ✢❺ ✣✥✤ ✣ ➄♥ÿ➉❽ ý ➬ ➮ ➊➦×✦✝✟ ✠✟✍✡✆☞✟ ✌✟✓✧✖❽ ✝✟✑✓✒♥Ó ✟☛✡✆☞✟✑✓✕✈Ó ✟ ➊ ♦★♥ÿ➉❽ ý ➬ ➮ ➊➦×✦✝✟ ✠✟✍✡✆☞✟ ✌✟✍✡✝❽ ✝✟✑✓✒♥Ó ✟☛✡✆☞✟✑✓✕✈Ó ✟ ➊ ⑦✏✩✠⑩✠⑧✏✪✬✫✠❉✮✭✄✯✮✰✢❷✮✱✠❹☎■✳✲✏✴✏✵✤✾✁å✠ñ➦❛ ❜✲❝✠❞☎❅✝❆✠❇➦➷✲×✠ý✙✶✠❉ ❊☎❋➙❡✠❥❧❛ ❜❘❝✠❞☎❅✝❆✠❇✤❉✝❪ ✽✖❫✏✷➙ýìþä✛ÿ➉❽ ý ➬ ➮➊ ➈ ✸☛ó➇❽ ➷ ➬ ➮✰➊✈õ✖❬✝❭✠❪✝✽✠■✁❥❨▼✁◆✠❖✝P✤■ ß✮✹øÞ➨✍✺✙✻✝ý✽✼✝❚➙➷❑×✝ý✽✰✢ ❊✠❋✖❉✁❞✞✾✝❹☎❡ ✢❺✹ø✝❝✠❞✠❅ ❆✝❇❀✿❁➉Ó ❂ ❽ ➷ ➬ Õ✰➊☛❃➦Õ❄✺❑ä✛✎ ý✌➬ ✏ ✖❆❅✏❇❈✿❁➉Ó ❂ ❽ ➧➨✍✺ ➬ Õ❄✺ ➊✈×✠ý ➈ùò✝⑧✏❉❊✿❁➉Ó ❂✰❽ ➷ ➬ Õ✰➊♥❪✝✽✠❉✆❋✝ï✏●✏❍✠❡ ✢❺✤■✖❱✠❲✁❳✠❩✠❈✤❁✖❂✤❉✖❬✠❭☎❪✠✽✖❫↔❴❵✞■✏❏✢❻✮❑✠❝✠❞☎❅✖❆✠❇✠❈☎❉✝❪✠✽✝❫✞▲✏▼↔❴❵❡❨✽✝P ✒ ➈ ✏ ◆ ③ ❖✤✾✛▲✞▼✝❝✝❞✠❅✝❆✝❇✠❈✤❉✖❪✠✽✖❫✤❉✝éàú✝û✤❡ ✮✰✯✲✱ P❘◗❚❙✷✸✻✺ ❹☎❻✞❯✠ç✻è✖❉❾❛ ❜✌❝✠❞☎✽✝P✄❱✞❲✤❉✖❺☎❻✝❼✤❉✮❳✏❨✏❩✤■✛ô✏❋✠ï✏❬✔❭✲②❪➃ ✤ ❫ s❵❴✆✯➏➥④❽ ➧➨♥➊❜❛✄❝✝å✠ñ➏Ø➇⑨✠❩ ❞❡④á✖⑥☎■❢❡✝❶❣❴✛✯☛➥④❽ ➧➨♥➊❜❤✖ñ✞❛✏❝✖å✝ñ☛Ø④⑨✝❩❞■❢✐✏❥✮▲✞▼☎❉✁❝✠❞☎❉✁ú✏❦✞❧✞♠✏♥☎❡♦✸❾➥④❽ ➧➨♥➊✓♣✞✰✢❻✖⑨ ❩❞■♦✐☎æ✮❥✮▲✞▼ ✒ ⑨✝❝✝❞✝❳✝❩☎❡♦✸✞q✝❳✞❳✏❨✞❩☎❉✖⑩✞r✏s✞t✞✉❞❨☎■✙✐✝❝✝❞↔❴❵✏✈◗✞✇✏①✮②✠ã✞③✄✫☎❴❵❡ ④✁⑥☎■ ❞❨✞❳✞❨✞❩✤❉✖⑩✞r✏⑤✠◗✏✇✮✼✠ð☎✽☎❴❵✞⑥✏⑦❡ ø✞⑧✏⑨✝❷✠❸✄⑩✁■❑❻✄❶✛❳✞❨✞❩☎■➢➋✞❡❸❷✛➋❺❹✍❻✝ê✄❼❜❽✞❾✄❼❜❿✝❍■❳✞❨✞❩✤â✛❬✝⑩✞r✏①✮➀✤■❜￾✄✂✖❷✮➁✏✲✞➂✞❦✞￾ ✂✆➃✠✽✖⑦✝❚✝❯✏➄✮➅☎❉✁❏☎▲✠❡④ø✝⑧✠❻✞❯✞➆✠ö☎÷✆❧✝ç✻è✁■✥④✆❳✞❨✏❩✠ã✠❻✄❶✮✶✠■✥➇Þ➥④❽ ➷ ➊✲×✏➈✰❽ ➷➉✡➋➊ ➊ ➌ ❽ ➷➉✡✥➍✰➊ ❿❄➊ìþ×✆➍➁❿ ❛ ❜❑❝✝❞✠✽✖P✞❧✏①✮②☎ã ✏ ➎ ③✄✫✖✽✖P☎❡❣❳✢ ❷✛➋➏❹✓❻✝ê✄❼➋❽✞❾✄❼➋❿✝❍■❳✏❨✞❩✤■ ✈◗✮➐☎❻✮➑✄①✮②☎ã ✒ ③✄✫✖✽ P☎❡ ➒ ➎➁➐ ➓➁➐ ➔➣→✮↔✞↕✏➙✮➛✞➜✏➝ ø✠❻✄❶✛❳✞❨✞❩❣⑩✖■✛ï➞➍✳✻✮➊✙➟✝ý ❿❄➈✙✻✝ý ❿ ✐✻❥ ✢ ♦①➅♥➥④❽ ➧➨♥➊♥×✖♦① ✇ s ♦➄ ➨ ➍ ✧❨♦① ✇ s ♦➄ ➨ ➊ ✻✝ý ➥④❽ ➧➨♥➊✍❧✄➠✁❺✞✰✢✮➡❊➢ ❩❞❡✳➤✄✶ ➥ ✒☛➦➁Ó ➧ ×❺✗ ➨ ➍✬✚ ➬ ➥ ✒☛➦✰Ó ➨ ×❺✗ ➨➉➍ ✧♥➨ ➨ ✚ ➬ ➥✕✁➦➁Ó ➧ ×➩✗ ➈➨ ➈ ➊✏✚ ➬ ➥ ✒☛➦✰Ó ➨ ×❺✗ ➈ ➊➨ ✧❜➈➨ ➨ ✚ Ù ❽ ✑ ➈ ➎ ý ➊ ⑦❾❽ ✑ ➈ ❛ Ø ➊➉❇❣⑩✛➫✞➭✖❊✠❋✮③✬✫✝❉ÞØì⑨❣➯✳➲✠ã ➥➳ ➧ ×❺✗ ➨ ➍✬✚ ✘✒♥Ó ➵✰➬ ➥➳ ➨ ×➩✗ ➨ ➊✞✚ ➈ ✘✕✈Ó ➵✰➬ ➥➉➸ ➳ ×❺✗ ➍ ✧♥➨➺✚ ➨ ✘✒♥Ó ➻ ➬ ➥➉➼ ➳ ×❺✗ ➊ ✧♥➨❸✚ ➈➨ ✘✕✈Ó ➻ ➬ ❽ ✑ ➈ ➎ ✏ ➊