是可测集 证明与定理3.2.4证明理由相同。 定理3.2.7(外极限定理)设{En}是一列可测集,且ELSE2S., 令E=U En= lim en,则对任意T有 m(T∩E)=limm(T∩En) 证明令Sn=EnEm-1(这里E0=φ),则Sn可测且互不相交,由定理3.1 得mnU(sn)]=∑m*(T∩S T∩(E一E)] limⅢ 显然∪S=∪E=E,即m(T∩B=imm'(TnE),证毕 定理3.2.8(内极限定理)设{En}是一列可测集,且EE2彐 令 E=∩En=imE”,则对任意mT<+∞有m(TnE)=limm(T∩EnE＝I ∞ n=1 E n 是可测集. 证明 与定理３.２.４证明理由相同。 定理３.２.７ (外极限定理)设｛E n ｝是一列可测集，且 E1 ⊆ E 2 ⊆ ...， ⊆ E n ⊆，...令 E＝U ∞ n=1 E n ＝n→∞ lim E n ， 则对任意 T 有 m* (T∩E)＝n→∞ lim m* (T∩E n ) 证明 令 S n ＝E n -E n−1 (这里 E 0＝ф)，则 S n 可测且互不相交，由定理３.１. ５得 m* [T∩U ∞ n=1 (S n )]＝∑ ∞ n=1 m*(T∩S n ) ＝ ∑= →∞ n i n 1 lim m * [T∩(E i －E i−1 )] ＝n→∞ lim m* U n i=1 [T∩(E i －E i−1 )] ＝n→∞ lim m* (T∩E n )， 显然 U ∞ n=1 S n ＝U ∞ n=1 E n ＝E，即 m* (T∩E)＝n→∞ lim m* (T∩E n )， 证毕 定理３.２.８ (内极限定理)设｛E n ｝是一列可测集，且 E1 ⊇E 2 ⊇...， ⊇E n ⊇，... 令 E＝I ∞ n=1 E n ＝n→∞ lim E n ， 则对任意 m* T＜＋∞有 m* (T∩E)＝n→∞ lim m* (T∩E n )