证明因E=E2三,,En,..所以E一ESEI-E2S E 则由外极限定理得mTnE-E]=limm'[T∩(E1-En)],即 m(T∩E)-m(T∩E)=m(T∩E)-limm(T∩En),故m(T∩E)= limm(T∩En),证毕 注3.2.3条件mT<+∞在于保证m(T∩En)<+∞(其实只须将条件 削弱为彐m'(T∩E")<+∞就足以保证结论成立),从而可用推论3 故此条件不能随意去掉,见反例如下 例3.2.1En=[n,+∞],T=(-∞,+∞),m(T∩En)=+∞,但 E=中,故m'(T∩E)=0≠limm(∩En)=+ 定理3.2.9若mE=0,则E可测。 证明对任意T,mT≤m(T∩E)+m(T∩CE)=0+m(T∩CE)≤mT 故mT=m(T∩E)+m(T∩CE),即E可测。证毕 推论3.2.4一切可数集皆可测,且测度为0。 证明E={x1,x2,。..,xn,,.},由外测度定义知:对任意n m{xn}=0,所以单元素集{xn}可测,由可列可加性知:E可测,且测度为0。 证毕 定理3.2.10区间I为可测集,且mI=|Il。证明 因 E1 ⊇E 2 ⊇，...，⊇ E n ⊇，...所以 E1－E1 ⊆ E1－E 2 ⊆，...，⊆ E1 －E n ，... 则由外极限定理得 m* [T∩(E1－E)]＝n→∞ lim m* [T∩(E1－E n )]，即 m* (T∩E1 )－m* (T∩E)＝m* (T∩E1 )－n→∞ lim m* (T∩E n )，故 m* (T∩E)＝ n→∞ lim m* (T∩E n )， 证毕 注３.２. ３ 条件 m* T＜＋∞在于保证 m* (T∩E n )＜＋∞(其实只须将条件 削弱为 ∃ m* (T∩E 0 n )＜＋∞就足以保证结论成立)，从而可用推论３.１. ３， 故此条件不能随意去掉，见反例如下： 例３.２.１ E n ＝[n,+∞]，T＝(-∞,+∞)，m* (T∩E n )＝＋∞，但 E＝ф，故 m* (T∩E)＝0≠n→∞ lim m* (T∩E n )＝＋∞。 定理３.２.９ 若 m* E＝0，则 E 可测。 证明 对任意 T ，m* T≤m* (T∩E)＋m* (T∩CE)＝0＋m* (T∩CE)≤m* T 故 m* T＝m* (T∩E)＋m* (T∩CE)，即 E 可测。 证毕 推论３.２.４ 一切可数集皆可测，且测度为 0。 证明 E＝{x1 ,x 2 ,。..,x n ,...}，由外测度定义知：对任意 n m* {x n }＝0，所以单元素集{x n }可测，由可列可加性知：E 可测，且测度为 0。 证毕 定理３.２.１０ 区间 I 为可测集，且 mI＝|I|