令n→∞得mT≥∑mns+mTn[Us: 由次可加性得mT≥m'TnUs]+mTn[Usn},即s=Us可测 Us]≥m[TnUs 令 得mnUS≥∑m(Tns 结合次可加性得 m [TnU S]=∑mTns), 特别地令T=S时得mUsn]=∑m 2)若S1,S2, 可能相交时,考虑 S=∪s"=∪s-sn1-.S],而[SSn1-…S门]互不相交, 由1)知S可测。证毕 注3.2.2由本定理可以看出,区别可数无限与不可数无限是一件相当重 要的事情。测度的可加性只对至多可数个集合而言成立,否则会导致“任意集合 皆可测且测度均为0”的荒谬结果。 事实上,如果对任意多个集合而言都具有可加性,则对任意集合E有: {x}可测,且m=m{x}=0 r∈E 定理3.2.6若E,E2,.,E",是一列可测集,则交集令 n→∞得 m* T≥∑ ∞ i=1 m* [T∩S i ]＋m* {T∩[U ∞ i=1 S i ] c } 由次可加性得 m* T≥m* [T∩U ∞ i=1 S i ]＋m* {T∩[U ∞ i=1 S i ] c }，即 s＝U ∞ i=1 S i 可测， m*[T∩U ∞ n=1 S n ]≥m* [T∩U m n=1 S n ]＝∑= m n 1 m* (T∩S n )， 令 m→∞，得 m*[T∩U ∞ n=1 S n ]≥∑ ∞ n=1 m* (T∩S n )， 结合次可加性得 m* [T∩U ∞ n=1 S n ]＝∑ ∞ n=1 m* (T∩S n )， 特别地令 T＝S 时得 m[U ∞ n=1 S n ]＝∑ ∞ n=1 mS n 2)若 S1，S 2 ，...，S n ，...可能相交时，考虑 S＝U ∞ n=1 S n ＝U ∞ n=1 [S n -S n−1 -...-S1 ]，而[S n -S n−1 -...-S1 ]互不相交， 由 1)知 S 可测。证毕 注３.２.２ 由本定理可以看出， 区别可数无限与不可数无限是一件相当重 要的事情。测度的可加性只对至多可数个集合而言成立，否则会导致“任意集合 皆可测且测度均为 0”的荒谬结果。 事实上，如果对任意多个集合而言都具有可加性，则对任意集合 E 有: E＝ U x∈E {x｝可测，且 mE＝∑x∈E m｛x｝＝0。 定理３.２.６ 若 E1，E 2 ，...，E n ，...是一列可测集，则交集