证明因为S-S2=S∩CS2,由定理3.2.2和定理3.2.4得S-S2可 测,且m'[T∩S门]=m'[T∩(s-S2)]+m'[T∩s2],移项即得 m[Tn(S-S2)]=m(T∩su)-m(T∩S2),证毕 注3.2.1其条件mS2<+∞在于保证m[T∩S2]<+∞,从而确保移项 可实施。 定理3.2.5(可列可加性)若S1,S2,,S〃,..是一列可测集,则 S=∪丿Sn也是可测集,若S,S2,…,Sn,…是一列互不相交的可测集,则 对任意的T有 US]=∑m(Tnsn 特别地 证明1)假定S,S2,,Sn,.互不相交,要证S可测,只须证对 任意的T有 mT≥mnUs:]+mnUs:1 因为对任意有限数n有mT=moUs:+ m ITn[U S: ∑m[ns]+ m ITA[U Sa]证明 因为 S1 -S 2 ＝S1∩CS 2 ，由定理３.２.２和定理３.２.４得 S1 -S 2 可 测， 且 m* [T∩S1 ]＝m* [T∩(S1 -S 2 )]＋m* [T∩S 2 ]，移项即得 m* [T∩(S1 -S 2 )]＝m* (T∩S1 )-m* (T∩S 2 )，证毕。 注３.２.１ 其条件 mS 2 ＜＋∞在于保证 m* [T∩S 2 ]＜＋∞，从而确保移项 可实施。 定理３.２.５ (可列可加性)若 S1，S 2 ，...，S n ，...是一列可测集，则 S＝U ∞ n=1 S n 也是可测集，若 S1，S 2 ，...，S n ，...是一列互不相交的可测集， 则 对任意的 T 有 m* [T∩U ∞ n=1 S n ]＝∑ ∞ n=1 m* (T∩S n ) 特别地 m[U ∞ n=1 S n ]＝∑ ∞ n=1 mS n 证明 1)假定 S1， S 2 ，...，S n ，...互不相交，要证 S 可测，只须证对 任意的 T 有 m* T≥m* [T∩U ∞ i=1 S i ]＋m* {T∩[U ∞ i=1 S i ] c } 因为对任意有限数n有m* T＝m* [T∩U n i=1 S i ]＋m* {T∩[U n i=1 S i ] c } ≥∑= n i 1 m* [T∩S i ]＋m* {T∩[U ∞ i=1 S i ] c }