m[ AUBUC]+mD(因为S可测) =m Tn [S! US21)+m TOC[! US2 J1 故S∪S2可测。如果S∩S2=φ,则T∩stss1,T∩S2sCS1,由S可测 知:m[T∩(SUS2)]=m(T∩Su)+m(T∩S2) 令T=R",则m(SUS2)=mS1+m 推论3.2.1设S(i=1,2,…,m)均可测,则S也可测。如果 S∩SJ=中(i,j=1,2,,n;i≠j),则 mn(s)]=∑mTns)。 正是此定理及其推论说明了:可测集的测度是真正“体积”概念的推广。 定理3.2.4若S1,S2均为可测集,则交集SI∩S2也是可测集 证明只须证[S∩S2]是可测集,而[S∩s2]=S1US2,由定理3 2.2知:S和S2“均为可测集,由定理3.1.3知:S∪S2可测。证毕 推论3.2.2若S(i=1,2,…,m)均为可测集,则交集∩S也是可测集 推论3.2.3若S1,S2均为可测集,则差集S1-S2也是可测集;如果 S彐S2,且mS2<+∞,则m*[T∩(S1-S2)]=m*(T∩S1)-m*(T∩S2)＝m* [A∪B∪C] ＋m* D (因为 S1可测) ＝m* {T∩[S1∪S 2 ]}+ m* {T∩C[S1∪S 2 ]} 故 S1∪S 2 可测。如果 S1∩S 2 ＝φ，则 T∩S1 ⊆ S1，T∩S 2 ⊆ CS1，由 S1可测 知： m* [T∩(S1∪S 2 )]＝m* (T∩S1 )＋m* (T∩S 2 ) 令 T＝R n ，则 m(S1∪S 2 )＝mS1＋mS 2 推论３.２.１ 设 S i (i=1,2,...,n)均可测，则U n i=1 S i 也可测。如果 S i ∩S j ＝φ(i，j＝1,2,...,n；i≠j)，则 m* [T∩(U n i=1 S i )]＝∑= n i 1 m* (T∩S i )。 正是此定理及其推论说明了：可测集的测度是真正“体积”概念的推广。 定理３.２.４ 若 S1，S 2 均为可测集，则交集 S1∩S 2 也是可测集。 证明 只须证[S1∩S 2 ] c 是可测集，而[S1∩S 2 ] c ＝ S1 c ∪S 2 c ，由定理３. ２.２知：S1 c 和 S 2 c 均为可测集，由定理３.１.３知：S1 c ∪S 2 c 可测。证毕 推论３.２.２ 若 S i (i=1,2,..,n)均为可测集，则交集I n j=1 Sj也是可测集。 推论３.２.３ 若 S1，S 2 均为可测集，则差集 S1 -S 2 也是可测集；如果 S1 ⊇S 2 ，且 mS 2 ＜＋∞，则 m*[T∩(S1 -S 2 )]＝m*(T∩S1 )-m*(T∩S 2 )