> 20.设A是n阶矩阵。证明:若每个非零n维列向量都是A的特征向量,则A是 数量矩阵,即A=Mn(k是数) 21.(1)设A是mxn矩阵,B是nxm矩阵,且m≥n。证明: 石m-AB=|Mn-B4|; (2)设a1(i=1,2,…,n,n≥3)为实数,满足a1+a2+…+an=0,求矩 阵 1a,a+1 a A=/a2a1+1 a2 +1 a2a,+l a,a,+l a,a,+l 的特征值 21.设A=-b0a,证明A+(a2+b2+c)4=0。 0 §2方阵的相似化简 1.判断下列矩阵是否能与对角矩阵相似。若相似,求出可逆矩阵P,使得PAP 为对角矩阵: (1)A=020 (2)A=010。 413 2.设 100 110 101 A1=010 011 A2=010 005 (1)说明A,A2和A3有相同特征值 (2)判别A,A2和A3之间的相似关系 200 100 3.设方阵A=2x2与B=020相似,求x,y。 311 00 4.已知3阶方阵A有特征值1,1,3,与之相对应的特征向量分别为 a1=(2,1,0),a2=(-1,0,1),a3=(0,1,1)y,      n i n j ij ji n i i a a 1 1 1 2  。 20．设 A 是 n 阶矩阵。证明：若每个非零 n 维列向量都是 A 的特征向量，则 A 是 数量矩阵，即 n A  kI （ k 是数）。 21．（1）设 A 是 mn 矩阵， B 是 nm 矩阵，且 m  n 。证明： | I  AB| | I  BA|  n m n  m   ； （2）设 i a （ i 1, 2,  , n，n  3 ）为实数，满足 a1  a2  an  0 ，求矩 阵                         1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a        A 的特征值。 21．设               0 0 0 c a b a b c A ，证明 A  (   )A  O 3 2 2 2 a b c 。 §2 方阵的相似化简 1．判断下列矩阵是否能与对角矩阵相似。若相似，求出可逆矩阵 P ，使得 P AP 1 为对角矩阵： （1）              4 1 3 0 2 0 2 1 1 A ； （2）             0 0 1 0 1 0 1 1 2 A 。 2．设            0 0 5 0 1 0 1 0 0 A1 ，            0 0 5 0 1 1 1 1 0 A2 ，            0 0 5 0 1 0 1 0 1 A2 。 （1） 说明 A1， A2 和 A3 有相同特征值； （2） 判别 A1， A2 和 A3 之间的相似关系。 3．设方阵            3 1 1 2 2 2 0 0 A x 与            0 0 y 0 2 0 1 0 0 B 相似，求 x， y 。 4．已知 3 阶方阵 A 有特征值 1，1，3，与之相对应的特征向量分别为 T (2, 1, 0) a1  ， T ( 1, 0, 1) a2   ， T (0,1,1) a3 