16.证:考察空间Im(a),对y∈m(a),存在x∈V使得y=a(x),则 (y)=(x)的幂等性a(x)=y 因此,Im()是线性变换a的不变子空间 17.解:取空间Cn的一组基:B={e1,e2,…,en}, o(e1)=en,a(e2)=e1,…,o(en)=en-1 (a).a在基B下对应的矩阵Aa为 (B=BA 0 01 (b).矩阵A。的特征多项式 入-10 00 det (AE 0 -10 0入 按第1列展开=x+(-1)+2(-1)-1=A-1 fA(X)=A-1=0,在复数域C上求得n个根:4k=e2k/m(k=0,1,…,n-1),且 有=1=wg(k>0),所以 010 0 01 即向量k是矩阵A。关于特征值wk的特征向量16. 证: 考察空间 Im(σ), 对 ∀y ∈ Im (σ), 存在 x ∈ V 使得 y = σ (x), 则 σ (y) = σ (σ(x)) σ的幂等性 ========== σ (x) = y 因此, Im (σ) 是线性变换 σ 的不变子空间. 17. 解: 取空间 C n 的一组基: B = {e1, e2, . . . , en}, σ (e1) = en, σ (e2) = e1, . . . , σ (en) = en−1, (a). σ 在基 B 下对应的矩阵 Aσ 为: σ (B) = BAσ Aσ =             0 1 0 · · · 0 0 0 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · · · · 0 1 1 0 · · · · · · 0 0             n×n (b). 矩阵 Aσ 的特征多项式: fAσ (λ) = det (λE − Aσ) =                 λ −1 0 · · · 0 0 0 λ −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · · · · λ −1 −1 0 · · · · · · 0 λ                 按第1列展开 =========== λ n + (−1)n+2(−1)n−1 = λ n − 1 fAσ (λ) = λ n − 1 = 0, 在复数域 C 上求得 n 个根: ωk = e j2kπ/n(k = 0, 1, . . . , n − 1), 且 有 ω n k = 1 = ω 0 k (k > 0), 所以 AσΩk =             0 1 0 · · · 0 0 0 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · · · · 0 1 1 0 · · · · · · 0 0                       ω 0 k ω 1 k ω 2 k . . . ω n−2 k ω n−1 k           =           ω 1 k ω 2 k ω 3 k . . . ω n−1 k ω 0 k           = ωkΩk 即向量 Ωk 是矩阵 Aσ 关于特征值 ωk 的特征向量