(c).变换a-1v作用到基B eo e1一 (a-1v)(en) 可得σ-1v对应的矩阵: 0-11 0 (d).可验证gk是矩阵An-1v相应特征值k-u8=k-1的特征向量 ().矩阵[a(a)n2(a)…q"-1(a)]对应的向量!k,特征值为(1/na(k 0.1 18.证:设x为矩阵AB对应非零特征值A的特征向量,即ABx=Ax,则Bx≠0(因x是 (AE-AB)x=0的非零解,Nx=A(Bx),若Bx=0则特征方程不成立),因此, ABx= B(x)= B(ABx)=(BA)(Bx) 可见Bx为矩阵BA相应于特征值的特征向量,换言之,矩阵AB的非零特征值也是矩阵 BA的特征值 同理可证,矩阵BA的所有非零特征值也是矩阵AB的特征值 若0是矩阵AB的特征值,则det(AB)=det(BA)=0,说明0也是BA的特征值,反之亦 然 综上所述,矩阵AB和BA具有相同的特征值 19.解:(a.因A,B相似,有AP=PB,即 Ax A2x B Ax A2xB *[Ax Ax 3Ax-2A2x =x Ax AxB 000 B 103 (b).因A与B相似 00 det(A+E)=det(P-1(A+E)P)=det(B+E)=det[1 13(c). 变换 σ − 1V 作用到基 B (σ − 1V ) (e1) = en − e1, (σ − 1V ) (e2) = e1 − e2, . . . (σ − 1V ) (en) = en−1 − en 可得 σ − 1V 对应的矩阵: Aσ−1V =          −1 1 0 · · · 0 0 −1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 0 −1 1 1 0 · · · 0 −1          (d). 可验证 Ωk 是矩阵 Aσ−1V 相应特征值 ω 1 k − ω 0 k = ωk − 1 的特征向量. (e). 矩阵 h a σ (a) σ 2 (a) · · · σ n−1 (a) i 对应的向量 Ωk, 特征值为 (1/n)ΩH k a(k = 0, 1, . . . , n − 1). 18. 证: 设 x 为矩阵 AB 对应非零特征值 λ 的特征向量, 即 ABx = λx, 则 Bx 6= 0 (因 x 是 (λE − AB) x = 0 的非零解, λx = A(Bx), 若 Bx = 0 则特征方程不成立), 因此, λBx = B(λx) = B (ABx) = (BA) (Bx) 可见 Bx 为矩阵 BA 相应于特征值 λ 的特征向量, 换言之, 矩阵 AB 的非零特征值也是矩阵 BA 的特征值. 同理可证, 矩阵 BA 的所有非零特征值也是矩阵 AB 的特征值. 若 0 是矩阵 AB 的特征值, 则 det(AB) = det(BA) = 0, 说明 0 也是 BA 的特征值, 反之亦 然. 综上所述, 矩阵 AB 和 BA 具有相同的特征值. 19. 解: (a). 因 A, B 相似, 有 AP = PB, 即 A h x Ax A2x i = h x Ax A2x i B ⇒ h Ax A2x A3x i = h x Ax A2x i B ⇒ h Ax A2x 3Ax − 2A2x i = h x Ax A2x i B ⇒ B =    0 0 0 1 0 3 0 1 −2    (b). 因 A 与 B 相似, det (A + E) = det  P −1 (A + E) P  = det (B + E) = det      1 0 0 1 1 3 0 1 −1      = −4