20.解:考察向量x(i=1,2,,r), Axi=XXxi=X xie;=xi xi 即向量x;是矩阵A的特征向量,相应的特征值为|xe(i 21.解只求解其中的(a,c),d) (a).先求特征值, f()=det-5x+3-3|=(x+1)3=0 0+2 求得特征根:1=2=3=-1.求相应的特征向量, xxx 0 101 求得特征向量:x=1 (c).计算特征值, f(x)=det-4+7-8|=(x+12(A-3) 7入-7 求得特征根:A1=A2=-1,A3= 入1=入2=-1的特征向量 23-4 46-8 xxx 0 求得特征向量:x=2 入3=3的特征向量x 2 (e).求得特征值h1=1,A2=A3=A4=2 1=1对应特征向量:x 入2=A3=A4=2对应特征向量:x 110020. 解: 考察向量 xi(i = 1, 2, . . . , r), Axi = XXT xi = X kxik 2 ei = kxik 2 xi 即向量 xi 是矩阵 A 的特征向量, 相应的特征值为 kxik 2 (i = 1, 2, . . . , r). 21. 解: 只求解其中的(a),(c),(d) (a). 先求特征值, f(λ) = det      λ − 2 1 −2 −5 λ + 3 −3 1 0 λ + 2      = (λ + 1)3 = 0 求得特征根: λ1 = λ2 = λ3 = −1. 求相应的特征向量,    −3 1 −2 −5 2 −3 1 0 1       x1 x2 x3    = 0 求得特征向量: x =    1 1 −1   . (c). 计算特征值, f(λ) = det      λ − 1 3 −4 −4 λ + 7 −8 −6 7 λ − 7      = (λ + 1)2 (λ − 3) 求得特征根: λ1 = λ2 = −1,λ3 = 3 λ1 = λ2 = −1 的特征向量    −2 3 −4 −4 6 −8 −6 7 −8       x1 x2 x3    = 0 求得特征向量: x =    1 2 1   . λ3 = 3 的特征向量 x =    1 2 2    (e). 求得特征值 λ1 = 1, λ2 = λ3 = λ4 = 2. λ1 = 1 对应特征向量: x =      −5 7 1 2      . λ2 = λ3 = λ4 = 2 对应特征向量: x =      1 −1 0 0     