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入-1-b 22.解:特征多项式:f(入) b b入-1 b入-1-b +R(i=2,3, -b -b-1 1 1 0 A+b R4+bR1(i=2.3 入+b-1 (入-(n-1)b-1 0入+b-1 (a).求得特征值: (1).b≠0:A1=(n-1)b+1,A=A3= 入n=1-b 入1=(n-1)b+1对应的特征向量 (n-1)b b b (n-1)b 0 b(n-1) b 解得特征向量:x,1「111 n-1重特征值1-b对应的特征向量 0 解得n-1个特征向量为 2 2)b=0:矩阵为单位阵,1是n重根,e1,e2,,en是相应特征向量 (b).令矩阵P=x1x2 P是正交矩阵 PAP=dag{(n-1)b+1,1-b,1-b,,1-b}22. 解: 特征多项式: f(λ) = λ − 1 −b −b · · · −b −b −b λ − 1 −b · · · · · · −b −b −b λ − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −b −b · · · −b λ − 1 −b −b −b · · · −b −b λ − 1 R1+Ri(i=2,3,...,n) ============= (λ − (n − 1)b − 1) 1 1 1 · · · 1 1 −b λ − 1 −b · · · · · · −b −b −b λ − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −b −b · · · −b λ − 1 −b −b −b · · · −b −b λ − 1 Ri+bR1(i=2,3,...,n) ============== (λ − (n − 1)b − 1) 1 1 1 · · · 1 1 0 λ + b − 1 0 · · · · · · 0 0 0 λ + b − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 0 λ + b − 1 0 0 0 · · · 0 0 λ + b − 1 = (λ − (n − 1)b − 1) (λ + b − 1)n−1 (a). 求得特征值: (1). b 6= 0: λ1 = (n − 1)b + 1, λ2 = λ3 = · · · = λn = 1 − b λ1 = (n − 1)b + 1 对应的特征向量: (n − 1)b −b −b · · · · · · −b −b (n − 1)b −b · · · · · · −b −b −b (n − 1)b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −b −b · · · −b (n − 1)b −b −b −b · · · −b −b (n − 1)b x1 x2 x3 . . . xn−1 xn = 0 解得特征向量: x1 = 1 √ n h 1 1 1 · · · 1 i . n − 1 重特征值 1 − b 对应的特征向量: −b −b · · · −b −b −b · · · −b . . . . . . . . . −b −b · · · −b x1 x2 . . . xn = 0 解得 n − 1 个特征向量为: x2 = 1 √ 2 (e2 − e1), x3 = 1 √ 2 (e3 − e1), . . ., xn = 1 √ 2 (en − e1). (2). b = 0: 矩阵为单位阵, 1 是 n 重根, e1, e2, . . . , en 是相应特征向量. (b). 令矩阵 P = h x1 x2 · · · xn i , P 是正交矩阵, P T AP = diag {(n − 1)b + 1, 1 − b, 1 − b, . . . , 1 − b}