23.证:入为矩阵A的特征值,设x为入相应的特征向量,则 Ax=入x 若A可逆,两边左乘矩阵A-1,可逆矩阵的所有特征值非零,因此 x=AA-1x→x=A-1x 即是A-1的特征值 解: (a)det(e2-A2)= =0,解得1=-1,2=1,求得相应的特征向量为 X2= A det(E3- A3) 011=0,求得特征值为A1 相应特征向量为x1=-2|,x2=0.x3=√2 (b)令四=n+,(=1,2…,n),考察 010 x() SI 101 0 010 其中 c()=sin s1=xg-1)+x(+1)=sim(=1)kx +sin (i n+1 (①+1),(=23…n-1) n+1 sin(a)+sin(B +2a 2+sin /a+B a-B cOS 令a=2=1)k(+1)丌有a+B话丌a-B一k,因此 n+1 n+1 Si=2 sir 2 sin =2.3...n-123. 证: λ 为矩阵 A 的特征值, 设 x 为 λ 相应的特征向量, 则 Ax = λx 若 A 可逆, 两边左乘矩阵 A−1 , 可逆矩阵的所有特征值非零, 因此 x = λA−1x ⇒ 1 λ x = A−1x 即 1 λ 是 A−1 的特征值. 24. 解: (a) det (λE2 − A2) =      λ −1 −1 λ      = 0, 解得 λ1 = −1,λ2 = 1, 求得相应的特征向量为: x1 = " 1 −1 # , x2 = " 1 1 # det (λE3 − A3) =        λ −1 0 −1 λ −1 0 −1 λ        = 0, 求得特征值为 λ1 = − √ 2,λ2 = 0, λ3 = √ 2. 相应特征向量为: x1 =    1 − √ 2 1   , x2 =    −1 0 1   , x3 =    1 √ 2 1   . (b) 令 x (i) k = sin  ikπ n + 1 ,(i = 1, 2, . . . , n), 考察           0 1 0 · · · 0 1 0 1 . . . . . . 0 . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . 0 1 0 · · · 0 1 0                    x (1) k x (2) k . . . x (n−1) k x (n) k          =         s1 s2 . . . sn−1 sn         (5) 其中 s1 = x (1) k = sin  2kπ n + 1 si = x (i−1) k + x (i+1) k = sin  (i − 1)kπ n + 1  + sin  (i + 1)kπ n + 1  , (i = 2, 3, . . . , n − 1) sn = x (n) k = sin  (n − 1)kπ n + 1  因 sin(α) + sin(β) = sin  α + β 2 + α − β 2  + sin  α + β 2 − α − β 2  = 2 sin  α + β 2  cos  α − β 2  令 α = (i − 1)kπ n + 1 , β = (i + 1)kπ n + 1 , 有 α + β 2 = ikπ n + 1 , α − β 2 = −kπ n + 1 , 因此 si = 2 sin  ikπ n + 1 cos  −kπ n + 1 = 2 sin  ikπ n + 1 cos  kπ n + 1 , i = 2, 3, . . . , n − 1