对式(5)中的第s1和sn项分别化简为 S1 kT k丌 sIn COS (n+1/+ cos/nkT +1 1 对sn表达式中的第2项等于 k丌 k丌 cOS n+1+k)=c0s(2kx--分 )sim/、nkπ 所以 (n-1)k丌 k7 +1 n+1 有 (n) 因此,2cos 和xk是矩阵的特征值和特征向量.下列矩阵X,A是a=0,b=1时 矩阵An的特征值和特征向量,即 A= diag cos n+1/,cos AnX=XA (c)用An(a,b)表示a,b为一般非零值时的矩阵,则矩阵An(a,b)=aEn+bAn(0,1),则 An(a,b)=aEn+bAn1(,1)=aXX-1+bxAx-1=x(aEn+bA)x-1 上式表明aEn+bA为矩阵An(a,b)的所有特征值,X是相应的特征向量 5.证:首先将入=max表示称带约束的优化问题 lx=l max xTAx t.‖ ∈R 将约束条件|x=1换成等价形式:∑2=x2x=1,其中n1是向量x的第i个分 量(i=1,2,,,m),引入 Lagrange乘子u将有约束优化问题转换成无约束最优化问题: max L(x, u)=xAx+u(xx- 根据优化问题的极值条件 Lagrange函数L(x,p)在极值点处的梯度为零,即 VL(x, H) Ax+ 上式表示,所有的特征值一*和标准化的特征向量x*是问题的极值点,从这些值中选取最 大的一μ*是原问题的最优解,换言之原问题A=max的解是矩阵A的最大特征值对式(5)中的第 s1 和 sn 项分别化简为: s1 = 2 sin  kπ n + 1 cos  kπ n + 1 sn = sin  nkπ n + 1 cos  −kπ n + 1 + cos  nkπ n + 1 sin  −kπ n + 1 对 sn 表达式中的第2项等于 cos  nkπ n + 1 + kπ sin  −kπ n + 1 + kπ = cos  2kπ − kπ n + 1 sin  nkπ n + 1 所以 sin  (n − 1)kπ n + 1  = 2 sin  nkπ n + 1 cos  kπ n + 1 有       s1 s2 . . . sn       = 2 cos  kπ n + 1        x (1) k x (2) k . . . x (n) k        因此, 2 cos  kπ n + 1 和 xk 是矩阵的特征值和特征向量. 下列矩阵 X, Λ 是 a = 0, b = 1 时 矩阵 An 的特征值和特征向量, 即 X = h x1 x2 · · · xn i , Λ = 2diag  cos  π n + 1 , cos  2π n + 1 , . . . , cos  nπ n + 1 AnX = XΛ (c) 用 An(a, b) 表示 a, b 为一般非零值时的矩阵, 则矩阵 An(a, b) = aEn + bAn(0, 1), 则 An(a, b) = aEn + bAn(0, 1) = aXX−1 + bXΛX−1 = X (aEn + bΛ) X−1 上式表明 aEn + bΛ 为矩阵 An(a, b) 的所有特征值, X 是相应的特征向量. 25. 证: 首先将 λ = max kxk=1 表示称带约束的优化问题: max x T Ax s.t. kxk = 1 x ∈ R n 将约束条件 kxk = 1 换成等价形式: Xn i=1 x 2 i = x T x = 1, 其中 xi 是向量 x 的第 i 个分 量(i = 1, 2, . . . , n), 引入 Lagrange 乘子 µ 将有约束优化问题转换成无约束最优化问题: max L(x, µ) = x T Ax + µ  x T x − 1  根据优化问题的极值条件 Lagrange 函数 L(x, µ) 在极值点处的梯度为零, 即 ∇L(x, µ) = 0 ⇒ ( Ax + µx = 0 x T x = 1 上式表示, 所有的特征值 −µ ∗ 和标准化的特征向量 x ∗ 是问题的极值点, 从这些值中选取最 大的 −µ ∗ 是原问题的最优解, 换言之原问题 λ = max kxk=1 的解是矩阵 A 的最大特征值