26.解矩阵A的特征多项式为:fA()=det(AE-A)=A3-2A+1,有 9()=(2A+4A-5X2+9A-14)A()+24A2-37A+10 (a)g(A)=24A2-37A+10E,因 12 2 0-1 211 求得 9(A)=24A2-37A+10E 095-6 0-6134 (b)因f(A)=0,有 A3-2A+E=0→A(2E-A2)=E 因此A-1=E-A2=001 27.证:设矩阵A的特征值A1对应的特征向量为x(i=1,2,…,m),任意多项式为f(X)=a0+ a1入+a22+……,则 f(Ax1=(q0+a1A+a242+…) 因此f(A)是f(A的特征值(i=1,2,…,,m) 6 254 3 入+4 A1=1 =0→x1= 入2=2 4-3 345346347 0 0 0→x3=2 令P=1 101 1 2-31111 11「100 2,则 546 102020.因 101 52-31「1 101 020 0 2 0 (b)(略)26. 解: 矩阵 A 的特征多项式为: fA(λ) = det (λE − A) = λ 3 − 2λ + 1, 有 g(λ) = (2λ 5 + 4λ 3 − 5λ 2 + 9λ − 14)fA(λ) + 24λ 2 − 37λ + 10 (a) g(A) = 24A2 − 37A + 10E, 因 A2 =    1 2 2 0 2 −1 0 −1 1    求得 g(A) = 24A2 − 37A + 10E =    −3 48 −26 0 95 −61 0 −61 34    (b) 因 f(A) = 0, 有 A3 − 2A + E = 0 ⇒ A  2E − A2  = E 因此 A−1 = 2E − A2 =    1 −2 −2 0 0 1 0 1 1   . 27. 证: 设矩阵 A 的特征值 λi 对应的特征向量为 xi(i = 1, 2, . . . , n), 任意多项式为 f(λ) = a0 + a1λ + a2λ 2 + · · · , 则 f(A)xi =  a0 + a1λi + a2λ 2 i + · · ·  xi 因此 f(λi) 是 f(A 的特征值(i = 1, 2, . . . , n). 28. 解: (a) det      λ − 5 −2 3 −4 λ − 5 4 −6 −4 λ + 4      = (λ − 3)(λ − 2)(λ − 1) λ1 = 1 :    −4 −2 3 −4 −4 4 −6 −4 5       x1 x2 x3    = 0 ⇒ x1 =    1 1 2    λ2 = 2 :    −3 −2 3 −4 −3 4 −6 −4 6       x1 x2 x3    = 0 ⇒ x2 =    1 0 1    λ3 = 3 :    −2 −2 3 −4 −2 4 −6 −4 7       x1 x2 x3    = 0 ⇒ x3 =    1 2 2    令 P =    1 1 1 1 0 2 2 1 2   , 则    5 2 −3 4 5 −4 6 4 −4       1 1 1 1 0 2 2 1 2    =    1 1 1 1 0 2 2 1 2       1 0 0 0 2 0 0 0 3   . 因 此,    1 1 1 1 0 2 2 1 2    −1    5 2 −3 4 5 −4 6 4 −4       1 1 1 1 0 2 2 1 2    =    1 0 0 0 2 0 0 0 3    (b) (略)