13.解:取线性空间R2×2的一组基: E11 10 E12= 00 00 1 10 E22 01 令B=EnE12E21E2求线性变换a在基B下对应的矩阵: a(E1) 111020 000 2E1+2E 11 2 a(E12)= 101 0 11|00 a(E21) 20=2E11 11 a(E2) 020 1100 01=E1 因此,a对应的矩阵为: 2020 2020 0101 rank(o(B)s)=2,因此dima=2.dim(Kera)=4-2=2. 14.证:Im()={y|wx∈vy=a(x)},Ker(o)={x|x∈VA0(x)=0}对wy∈Im(a),则存在 x∈V使得y=a(x) T()=T(o(x))=o(T()) Im(o 即Im(a)是r的不变子空间 对x∈Ker(a),则 a((x))=7(a(x)=T(0) 因T是V上的线性变换,有T(0)=0,因此 a((x)=0 即r(x)∈Ker(o),说明Ker(a)是r的不变子空间 15.证:因S1和S2是线性变换σ的不变子空间,有Wx∈S1,y∈S2,o(x)∈S,o(y)∈S2,对 Wx∈S1+S2,存在x1∈S1和x2∈S2使得x=x1+x2,则 a(x)=0(x1+x2)=0(x1)+0(x2) 因a(x1)∈S1和a(x2)∈S2,所以a(x)∈S1+S2,S1+S2是o的不变子空间.S1∩S2是a 不变子空间的证明类似13. 解: 取线性空间 R 2×2 的一组基: E11 = " 1 0 0 0 # , E12 = " 0 1 0 0 # , E21 = " 0 0 1 0 # , E22 = " 0 0 0 1 # 令 B = h E11 E12 E21 E22 i 求线性变换 σ 在基 B 下对应的矩阵: σ (E11) = " 1 1 1 1 # " 1 0 0 0 # " 2 0 0 1 # = 2E11 + 2E21 σ (E12) = " 1 1 1 1 # " 0 1 0 0 # " 2 0 0 1 # = E12 + E22 σ (E21) = " 1 1 1 1 # " 0 0 1 0 # " 2 0 0 1 # = 2E11 + 2E21 σ (E22) = " 1 1 1 1 # " 1 0 0 0 # " 2 0 0 1 # = E12 + E22 因此, σ 对应的矩阵为: [σ (B)]B =      2 0 2 0 0 1 0 1 2 0 2 0 0 1 0 1      rank ([σ (B)]B ) = 2, 因此 dim σ = 2. dim (Kerσ) = 4 − 2 = 2. 14. 证: Im(σ) =  y  ∀x ∈ V, y = σ (x) , Ker(σ) =  x  ∀x ∈ V ∧ σ(x) = 0 . 对 ∀y ∈ Im (σ), 则存在 x ∈ V 使得 y = σ(x), τ (y) = τ (σ (x)) = σ (τ (x)) ∈ Im (σ) 即 Im (σ) 是 τ 的不变子空间. 对 ∀x ∈ Ker (σ), 则 σ (τ (x)) = τ (σ (x)) = τ (0) 因 τ 是 V 上的线性变换, 有 τ (0) = 0, 因此 σ (τ (x)) = 0 即 τ (x) ∈ Ker (σ), 说明 Ker (σ) 是 τ 的不变子空间. 15. 证: 因 S1 和 S2 是线性变换 σ 的不变子空间, 有 ∀x ∈ S1, y ∈ S2, σ(x) ∈ S1, σ(y) ∈ S2, 对 ∀x ∈ S1 + S2, 存在 x1 ∈ S1 和 x2 ∈ S2 使得 x = x1 + x2, 则 σ(x) = σ(x1 + x2) = σ(x1) + σ(x2) 因 σ(x1) ∈ S1 和 σ(x2) ∈ S2, 所以 σ(x) ∈ S1 + S2, S1 + S2 是 σ 的不变子空间. S1 ∩ S2 是 σ 不变子空间的证明类似