1l.解因1(61)=B1{1(B1)B1,(B)=B2(B2)B2 (a)Im(o1)=span B1(o1(B1)lB,=span 11 19 Kar()=K{B2(2(B2)l}求2(B2)2的核空间 2(B2)B2 基础解系 因此 Ker(o2) ()(1+m)(62)=B2|(1+m)(62)l2=B2(m1(B2)2+(2(B2))因此a1+m2在 基B2下的矩阵为 1(B62)B2+2(B2)B2 设矩阵M是基B1到B2的过渡矩阵,即B1M=B2,解得: 则 o1[B2]b,=M o1 B1]B, M 7811「-10044 4346 因此 1+02)(B2)B2=1(62)B2+{2(B2)B2= 1228536 12.解:选定n维线性空间V的一组基B={1,E2,…,n}后,V上的线性变换a对应nxn阶矩 阵,不同变换对应不同的矩阵,因此L(V)与线性空间F×n(设线性空间V定义在数域F上 同构,线性空间Fn×n维数为n2,它的一组基为:{E}(i,j=1,2,…,m),其中E;的第i行 第j列元素为F上的(乘法)单位元,其它元素为0的n×n矩阵11. 解: 因 σ1 (B1) = B1 [σ1 (B1)]B1 , σ2 (B2) = B2 [σ2 (B2)]B2 (a) Im (σ1) = span n B1 [σ1 (B1)]B1 o = span (" 11 18 # , " 11 19 #), Ker (σ2) = Ker n B2 [σ2 (B2)]B2 o , 求 [σ2 (B2)]T B2 的核空间: [σ2 (B2)]T B2 x = 0 基础解系: " −3 2 # , 因此 Ker (σ2) = span (" −1 1 #) (b) (σ1 + σ2) (B2) = B2 [(σ1 + σ2) (B2)]B2 = B2  [σ1 (B2)]B2 + [σ2 (B2)]B2  , 因此 σ1 +σ2 在 基 B2 下的矩阵为: [σ1 (B2)]B2 + [σ2 (B2)]B2 设矩阵 M 是基 B1 到 B2 的过渡矩阵, 即 B1M = B2, 解得: M = " −7 8 5 6 # 则 σ1 [B2]B2 = M−1σ1 [B1]B1 M = " −7 8 5 6 #−1 " 3 5 4 3 # " −7 8 5 6 # = 1 82 " −100 44 43 46 # 因此 [(σ1 + σ2) (B2)]B2 = [σ1 (B2)]B2 + [σ2 (B2)]B2 = 1 82 " 228 536 535 784 # 12. 解: 选定 n 维线性空间 V 的一组基 B = {ε1, ε2, . . . , εn} 后, V 上的线性变换 σ 对应 n × n 阶矩 阵, 不同变换对应不同的矩阵, 因此 L(V ) 与线性空间 F n×n (设线性空间 V 定义在数域 F 上) 同构, 线性空间 F n×n 维数为 n 2 , 它的一组基为: {Eij}(i, j = 1, 2, . . . , n), 其中 Eij 的第 i 行 第 j 列元素为 F 上的(乘法)单位元, 其它元素为 0 的 n × n 矩阵