因此，由反函数的求导法则，在对应区间1，=(-免，+四)内有 (arctanxy=】 (tanyy sec-y l+tany+x 类地指6cau: 例8设=气08)为直接函数。则=赐言是它的反函数.函数仁在区同/，=(e, +四)内单调、可导，且 (a门'=a'lna0 因此。由反函数的求导法则，在对应区间10，+)内有 111 (oga对-a“ah日nd 到目前为止，所基本初等函数的导数我们都求出来了，那么由基本初等函数构成的较复 杂的初等函数的导数如可求呢？如函数Intan.x,e、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则 定理3如果g)在点x可导，函数N)在点一)可号，则复合函数烈明在点x 可导，且其导数为 安g或会来会 击山 正明：当=gx)在x的某邻线内为常数时，风x川也是常数此时导数为零，结论自然 成立. 当=)在x的某邻域内不等于常数时，△0.此时有 变.x+几).x+1x+A)- g在+Ag0 _w+Aw@.+A上烈 r 空=mg=mu+Aw-um+=g dr a-0 Ar a-e Ar 简要证明： Ar lim m Ay=limn Ay.lim Aufag'(x). 生-Mx“w四 剑9e,求密 解函数y=可看作是由=“，=x复合而成的.因此 空.变血.3r-re. 女加t 例10=血条，求会 解函数)血条是由加，条复合面成的 因此 少.亚业=caw 1+2-2x21-2 山 (+rco 对复合函数的导数比较熟练后，就不必再写出中间变量，因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x=(− +)内有 2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = =   =  类似地有 1 2 1 (arccot ) x x +  =−  例 8 设 x=a y (a0 a 1)为直接函数 则 y=loga x 是它的反函数 函数 x=a y在区间 I y=(− +)内单调、可导 且 (a y )=a y ln a 0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 I x=(0 +)内有 a a a x a x y y a ln 1 ln 1 ( ) 1 (log ) = =   =  到目前为止 所基本初等函数的导数我们都求出来了 那么由基本初等函数构成的较复 杂的初等函数的导数如可求呢？如函数 lntan x 、 3 x e 、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则 定理 3 如果 u=g(x)在点 x 可导 函数 y=f(u)在点 u=g(x)可导 则复合函数 y=f[g(x)]在点 x 可导 且其导数为 f (u) g (x) dx dy =    或 dx du du dy dx dy =   证明 当 u=g(x)在 x 的某邻域内为常数时 y=f[(x)]也是常数 此时导数为零 结论自然 成立 当 u=g(x)在 x 的某邻域内不等于常数时 u0 此时有 x g x x g x g x x g x f g x x f g x x f g x x f g x x y  + −  + − + − =  + − =   ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] x g x x g x u f u u f u  + −   + − = ( ) ( ) ( ) ( )  x g x x g x u f u u f u x y dx dy x u x  + −   + − =   =  →  →  → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim lim 0 0 0 = f (u)g (x ) 简要证明 x u u y x y dx dy x x      =   =  →0  →0 lim lim lim lim ( ) ( ) 0 0 f u g x x u u y u x =        =  →  →  例 9 3x y=e  求 dx dy  解 函数 3x y=e 可看作是由 y=e u  u=x 3 复合而成的 因此 2 2 3 u 3 3 x e x x e dx du du dy dx dy =  =  =  例 10 1 2 2 sin x x y + =  求 dx dy  解 函数 1 2 2 sin x x y + = 是由 y=sin u  1 2 2 x x u + = 复合而成的 因此 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 cos (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (2 ) cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +  + − = + + − =  =   对复合函数的导数比较熟练后 就不必再写出中间变量