整理得:y= x-xvIn x 求 解:y'=4x3+e y"=12x2+e y4)=24+ex 第三节微分及其在近似计算中的应用 思考 1设y=f(x)在点x0的某邻域有定义,且f(x0+△x)-f(x0)=a△x+b(△x)2,其中 a,b为常数,下列命题哪个正确? (1)f(x)在点x处可导,且f(x0)=a (2)∫(x)在点x处可微,且d(x)l-x=adx (3)f(x0+△x)≈f(x0)+a△x(|Ax很小时 答:(1),(2),(3)三个命题全正确 2可导与可微有何关系?其几何意义分别表示什么?有何区别? 答:对于一元函数来说,f(x)在x0处可导与可微均表示曲线y=f(x)在x0处存在切 线,f(x)表示切线的斜率,d(x)表示切线纵坐标的改变量 3.用微分进行近似计算的理论依据是什么? 答:理论依据为:当y=f(x)在x处可微时,Ay=dy+o(△x) 当△x很小时,有△y≈d 4.f(x)在一点可微,可导,连续间有何关系? 答:关系如图所示整理得： x xy x y y ln ' 2 − = . 10. x y x e 4 = + , 求 y (4) . 解： x y 4x e 3  = + , x y 12x e 2  = + , x y  = 24x + e , x y 24 e (4) = + . 第三节 微分及其在近似计算中的应用 思考题： 1.设 y = f (x) 在点 0 x 的某邻域有定义，且 f (x0 + x) − ( ) 0 f x = 2 ax + b(x) ，其中 a , b 为常数，下列命题哪个正确？ （1） f (x) 在点 0 x 处可导，且 f (x0 ) = a , （2） f (x) 在点 0 x 处可微，且 f (x) a x d | x x d 0 = = , （3） f (x + x)  f (x )+ ax 0 0 （ | x | 很小时）. 答：（1）,（2）,（3）三个命题全正确. 2.可导与可微有何关系？其几何意义分别表示什么？有何区别？ 答：对于一元函数来说， f (x) 在 0 x 处可导与可微均表示曲线 y = f (x) 在 0 x 处存在切 线， ( ) 0 f  x 表示切线的斜率， 0 d ( ) x x f x = 表示切线纵坐标的改变量. 3. 用微分进行近似计算的理论依据是什么？ 答：理论依据为：当 y = f (x) 在 0 x 处可微时， y = dy + o(x),  当 x 很小时，有 y  dy . 4. f (x) 在一点可微，可导，连续间有何关系？ 答：关系如图所示