·230 智能系统学报 第9卷 糊数学的方法来解决不确定问题，建立了基于模糊 授结合词计算将LDS建模成一个模糊动力学系统， 逻辑的LDS模型。 其状态方程、输出方程和反馈控制分别表示如下： 近年来，粗糙集[]作为一种处理不确定问题 状态方程：X1=F(X,U,k),F:ln×1n×Z→In。 的有效方法得到了快速发展，其扩展理论覆盖粗糙 输出方程：Y=H(X,k),H:n×Z→1n。 集[96]也引起很多学者的关注和研究兴趣，涌现出 反馈控制：U=R(Y,V,k),R:l×I×T→Im。 许多重要的研究成果2]。本文将利用覆盖粗糙 式中：ZT={0,1,…,K},X∈In是一个表示系统 集方法来研究语言动力系统中的不确定问题，建立 状态的向量，Y∈I,是输出，V∈I,是输入，U∈Im 基于覆盖粗糙集的LDS模型，利用粗糙集中的上下 是控制，k是离散时间实例，F,H,R是模糊逻辑算 近似思想探讨解决实际问题的推理方法，并通过实 子，它们各自定义了LDS中的系统、输出和控制映 例对其具体的应用和计算方法进行阐述。 射。系统中变量X、Y、U和V的定义域分别为： 1 相关定义 Dx={x1,x2,…,n} Dy={y1,y2,…yp} 为了讨论方便，在本文的后续内容中，令U表 D={山1,42，…，um} 示一个非空有限集合，称为论域。 Dy={U1,2,…,g} 1.1覆盖粗糙集 设U是一个论域，C是U的一个子集族。如果 2问题的提出 C中的所有子集都不空，且UC=U,则称C是U的 语言动力系统是一个非常复杂的动力学系统 一个覆盖：称有序对(U,C)为覆盖近似空间。对于 它面向的处理对象是自然语言所表达的人类知识， 任意一个子集X二U,定义X关于C的下近似和上 而这种知识具有很强的不确定性。因而，如何有效 近似分别为： 应对这种不确定性是语言动力系统研究中的一个关 X=U{K∈CIKCX} (1) 键的问题。 X=U{K∈C1KnX≠② (2) 王飞跃教授利用基于模糊逻辑的词计算对LDS 进行建模，来处理LDS中的不确定问题。词计算是 如果X=X,则称X是关于C的精确集；否则， 以隶属函数为基础的一种计算理论，它可以在一定 称X是关于C的一个覆盖粗糙集。X的下近似和 程度上很好地反映和处理自然语言中的不确定性。 上近似各自对应的覆盖块集族分别记为： 但由于如何确定隶属函数是一件繁琐而困难的工 C.(X)={K∈CIK二X} (3) 作，因而在面对复杂的大数据问题时，这种方法就显 C(X)={K∈CIK∩X≠} (4) 得力不从心。 在粗糙集中，一个集合的下近似中的元素被认 粗糙集是一种重要的处理不确定问题的理论，与 为是确定属于该集合的，而上近似中的元素则被认 词计算不同的是，粗糙集在解决问题时不依赖给定数 为是可能属于该集合的。因此，可以根据下近似来 据之外的任何先验知识，而是完全根据所给数据来客 获取确定的规则和知识，而依据上近似来获取可能 观地获取知识。因此，利用粗糙集分析和处理数据时 性的规则和知识。由于C,(X)二C·(X),所以在 不需去确定隶属函数。经典的粗糙集理论是建立在 C“(X)中除去C,(X)后剩余的集合都是可能属于 对论域划分的基础上，即不同概念之间不存在交集。 集合X的。令C:(X)表示C(X)与C,(X)的差 而在现实世界中，用自然语言描述的概念往往具有一 集，即： 定的模糊性，如很难对“年轻”这一概念予以确切地描 C(X)=C(X)-C.(X) (5) 述和区分，这就会将“年轻”中的一些人也分到诸如 对于U中的任意一个元素x,其关于C的邻域为 “较年轻”或“较不年轻”等概念中去，反之亦然。鉴 N(x)=∩{K∈C:x∈K} (6) 于此，Zakowski!)将经典粗糙集扩展为了覆盖粗糙 1.2语言动力系统 集，从而允许不同概念之间可以存在非空交集，增强 语言动力系统是一类特殊的动力学系统，它将 了粗糙集对实际问题的处理能力。 问题（过程）、情形（状态）、策略（控制器）、观察（反 覆盖的这一特征与自然语言表达知识的特点非 馈)、目标和评估用文字术语来表达。王飞跃教 常相似，即在对概念的表述上都存在一定的不确定糊数学的方法来解决不确定问题，建立了基于模糊 逻辑的 ＬＤＳ 模型。 近年来，粗糙集［７⁃８］ 作为一种处理不确定问题 的有效方法得到了快速发展，其扩展理论覆盖粗糙 集［９⁃１６］也引起很多学者的关注和研究兴趣，涌现出 许多重要的研究成果［１７⁃２４］ 。 本文将利用覆盖粗糙 集方法来研究语言动力系统中的不确定问题，建立 基于覆盖粗糙集的 ＬＤＳ 模型，利用粗糙集中的上下 近似思想探讨解决实际问题的推理方法，并通过实 例对其具体的应用和计算方法进行阐述。 １ 相关定义 为了讨论方便，在本文的后续内容中，令 Ｕ 表 示一个非空有限集合，称为论域。 １．１ 覆盖粗糙集 设 Ｕ 是一个论域，Ｃ 是 Ｕ 的一个子集族。 如果 Ｃ 中的所有子集都不空，且∪Ｃ ＝ Ｕ，则称 Ｃ 是 Ｕ 的 一个覆盖；称有序对（Ｕ， Ｃ）为覆盖近似空间。 对于 任意一个子集 Ｘ ⊆ Ｕ，定义 Ｘ 关于 Ｃ 的下近似和上 近似分别为： Ｘ － ＝ ∪ ｛Ｋ ∈ Ｃ ｜ Ｋ ⊆ Ｘ｝ （１） Ｘ － ＝ ∪ ｛Ｋ ∈ Ｃ ｜ Ｋ ∩ Ｘ ≠ Æ｝ （２） 如果 Ｘ － ＝ Ｘ － ， 则称 Ｘ 是关于 Ｃ 的精确集；否则， 称 Ｘ 是关于 Ｃ 的一个覆盖粗糙集。 Ｘ 的下近似和 上近似各自对应的覆盖块集族分别记为： Ｃ∗（Ｘ） ＝ ｛Ｋ ∈ Ｃ ｜ Ｋ ⊆ Ｘ｝ （３） Ｃ ∗ （Ｘ） ＝ ｛Ｋ ∈ Ｃ ｜ Ｋ ∩ Ｘ ≠ Æ｝ （４） 在粗糙集中，一个集合的下近似中的元素被认 为是确定属于该集合的，而上近似中的元素则被认 为是可能属于该集合的。 因此，可以根据下近似来 获取确定的规则和知识，而依据上近似来获取可能 性的规则和知识。 由于 Ｃ∗（Ｘ） ⊆ Ｃ ∗ （Ｘ），所以在 Ｃ ∗ （Ｘ）中除去 Ｃ∗（Ｘ）后剩余的集合都是可能属于 集合 Ｘ 的。 令 Ｃ ∗ ∗（Ｘ） 表示 Ｃ ∗ （Ｘ） 与 Ｃ∗（Ｘ） 的差 集，即： Ｃ ∗ ∗（Ｘ） ＝ Ｃ ∗ （Ｘ） – Ｃ∗（Ｘ） （５） 对于 Ｕ 中的任意一个元素 ｘ，其关于 Ｃ 的邻域为 Ｎ（ｘ） ＝ ∩ ｛Ｋ ∈ Ｃ ： ｘ ∈ Ｋ ｝ （６） １．２ 语言动力系统 语言动力系统是一类特殊的动力学系统，它将 问题（过程）、情形（状态）、策略（控制器）、观察（反 馈）、目标和评估用文字术语来表达［２］ 。 王飞跃教 授结合词计算将 ＬＤＳ 建模成一个模糊动力学系统， 其状态方程、输出方程和反馈控制分别表示如下： 状态方程：Ｘｋ ＋１ ＝ Ｆ（Ｘｋ， Ｕｋ， ｋ），Ｆ：Ｉｎ × Ｉｍ × Ｚ ＋→ Ｉｎ。 输出方程：Ｙｋ ＝ Ｈ（Ｘｋ， ｋ），Ｈ：Ｉｎ × Ｚ ＋→ Ｉｐ。 反馈控制：Ｕｋ ＝ Ｒ（Ｙｋ， Ｖｋ， ｋ），Ｒ：Ｉｐ × Ｉｑ × Ｚ ＋→ Ｉｍ。 式中：Ｚ ＋ ＝ ｛０， １，…， Ｋ｝，Ｘｋ∈ Ｉｎ是一个表示系统 状态的向量，Ｙｋ∈ Ｉｐ是输出，Ｖｋ∈ Ｉｑ是输入，Ｕｋ∈ Ｉｍ 是控制，ｋ 是离散时间实例，Ｆ，Ｈ，Ｒ 是模糊逻辑算 子，它们各自定义了 ＬＤＳ 中的系统、输出和控制映 射。 系统中变量 Ｘ、Ｙ、Ｕ 和 Ｖ 的定义域分别为： ＤＸ ＝ ｛ｘ１ ， ｘ２ ， …，ｘｎ ｝ ＤＹ ＝ ｛ｙ１ ， ｙ２ ， …，ｙｐ｝ ＤＵ ＝ ｛ｕ１ ， ｕ２ ， …，ｕｍ ｝ ＤＶ ＝ ｛ｖ１ ， ｖ２ ， …，ｖｑ｝ ２ 问题的提出 语言动力系统是一个非常复杂的动力学系统， 它面向的处理对象是自然语言所表达的人类知识， 而这种知识具有很强的不确定性。 因而，如何有效 应对这种不确定性是语言动力系统研究中的一个关 键的问题。 王飞跃教授利用基于模糊逻辑的词计算对 ＬＤＳ 进行建模，来处理 ＬＤＳ 中的不确定问题。 词计算是 以隶属函数为基础的一种计算理论，它可以在一定 程度上很好地反映和处理自然语言中的不确定性。 但由于如何确定隶属函数是一件繁琐而困难的工 作，因而在面对复杂的大数据问题时，这种方法就显 得力不从心。 粗糙集是一种重要的处理不确定问题的理论，与 词计算不同的是，粗糙集在解决问题时不依赖给定数 据之外的任何先验知识，而是完全根据所给数据来客 观地获取知识。 因此，利用粗糙集分析和处理数据时 不需去确定隶属函数。 经典的粗糙集理论是建立在 对论域划分的基础上，即不同概念之间不存在交集。 而在现实世界中，用自然语言描述的概念往往具有一 定的模糊性，如很难对“年轻”这一概念予以确切地描 述和区分，这就会将“年轻”中的一些人也分到诸如 “较年轻”或“较不年轻”等概念中去，反之亦然。 鉴 于此，Ｚａｋｏｗｓｋｉ ［９］ 将经典粗糙集扩展为了覆盖粗糙 集，从而允许不同概念之间可以存在非空交集，增强 了粗糙集对实际问题的处理能力。 覆盖的这一特征与自然语言表达知识的特点非 常相似，即在对概念的表述上都存在一定的不确定 ·２３０· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷