上式右边为单位时间区域V内的物质因温度升高所吸收的热量 从区域表面流入的热量与区域内部产生的热量均用于区域内物质的升温 利用高斯定理,可将面积分化为体积分,因而上式可化为 V·dr+fdr=|vpdr)cr 傅里叶定律:q=-kV=V·=-V,(kVu,故有 v.vndr+|fdr= L (edr)cur此式对任意体积均成立 pcl=V(kVa)+f对均匀体系: Vou= 若体系内无热源且热导率为常数(体系均匀区),则有:x-a2v2=0热传导方程 更一股地,若介质各向异性,则傅里叶定律改写为:=XB業为3×3矩阵。热传导方程为 (1.2) 类似地,由物质浓度不均匀而产生的扩散,分子浓度x,y,z,D满足与热传导方程相似的方程 au_dv-u 其中D为扩散系数,f(x,y,z,1)为单位时间在单位体积内分子的产生率 Q例题 目例1:阳光照射到半径为a表面完全吸收的球,设阳光的热流密度矢量为q, 外界温度=0,写出球表面温度应满足的条件(边界条件)。 解:取如图所示坐标系,热流密度矢量:4=-q2 e 同时,球还与外界按牛顿冷却律交换热量,产生的热流为:Q=K(-4)2 在球表面总的热流密度矢量:在= 矿+交=-q+K(u-l)0≤6≤丌/2 丌/2≤6≤丌 球表面的热流密度矢量在必在球表面建立Vu的温度梯度 这一点类似于牛顿第二定律,受到外力了必然使物体有a的加速度:了=ma 对应的傅里叶定律表明:=-kVu,其中k为热导率 两边同点乘p并利用Vu= 其中u(r,θ,)为球内温度,aa,θ,)为球表面温 为何要点乘b:因为要得到u(r,B,d)在球面的法向导数 目例2:半径a密度ρ比热c热传导系数为k的匀质圆杆,设同一横截面的温度相同,杆侧面与温度为4的外接热 热交换系数为K,求杆温度M满足的方程上式右边为单位时间区域 V 内的物质因温度升高所吸收的热量。 从区域表面流入的热量与区域内部产生的热量均用于区域内物质的升温。 利用高斯定理，可将面积分化为体积分，因而上式可化为 -V ∇ ·q τ +V f τ = V (ρ τ) c ut 傅里叶定律： q = -k ∇u ⟹ ∇·q = -∇·(k ∇u)，故有： V ∇ ·(k ∇u) τ + V f τ = V (ρ τ) c ut 此式对任意体积均成立 ρ c ut = ∇ ·(k ∇u) + f 对均匀体系 ： ut - k ρ c ∇2 u = f ρ c 若体系内无热源且热导率为常数（体系均匀区），则有： ut - a2 ∇2 u = 0 热传导方程 更一般地，若介质各向异性，则傅里叶定律改写为： q = - k  ·∇u, k  为 33 矩阵。 热传导方程为 ρ c ∂ u ∂ t - ∇ ·k  ·∇u = f (1.2) 类似地，由物质浓度不均匀而产生的扩散，分子浓度 u(x, y, z, t) 满足与热传导方程相似的方程。 ∂ u ∂ t - D ∇2 u = f (1.3) 其中 D 为扩散系数，f (x, y, z, t) 为单位时间在单位体积内分子的产生率。  例题 ☺ 例 1：阳光照射到半径为 a 表面完全吸收的球，设阳光的热流密度矢量为 q， 外界温度 u0 = 0，写出球表面温度应满足的条件 （边界条件 ）。 解：取如图所示坐标系 ，热流密度矢量 ： q = -q e  z θ q z 同时，球还与外界按牛顿冷却律交换热量 ，产生的热流为 ：Q = K (u -u0) e  r 在球表面 总的热流密度矢量 ：qt = q + Q = -q e  z + K (u -u0) e  r 0 ≤ θ ≤ π/2 Q = K (u -u0) e  r π/2 ≤ θ ≤ π 球表面的热流密度矢量 qt 必在球表面建立 ∇u 的温度梯度 , 这一点类似于牛顿第二定律 ，受到外力 f 必然使物体有 a 的加速度 ： f = m a 对应的傅里叶定律表明 ：qt = -k ∇u， 其中 k 为热导率 两边同点乘 e  r 并利用 e  r ·∇u = ∂ u ∂ r = ur 得： -q cos θ + K u(a, θ, ϕ) = -k ur(a, θ, ϕ) 0 ≤ θ ≤ π/2 u = -k ur(a, θ, ϕ) π/2 ≤ θ ≤ π , 其中 u(r, θ, ϕ) 为球内温度 ，u(a, θ, ϕ) 为球表面温度 ，u0 = 0 ▲ 为何要点乘 e  r：因为要得到 u(r, θ, ϕ) 在球面的法向导数。 ☺ 例 2：半径 a 密度 ρ 比热 c 热传导系数为 k 的匀质圆杆，设同一横截面的温度相同，杆侧面与温度为 u0 的外接热 交换。 热交换系数为 K，求杆温度 u 满足的方程 。 6 z09a.nb