z09a.nba 解:同一截面的温度相同,退化为一维问题:u(x,D)。考虑x到x+dx的一小段 左端有温度梯度:Vu=(x,)e2,必对应于-kⅴu的热流密度矢量,故左端必有热量ra2(-kVu)-x流入 右端有温度梯度:Vn=x+dx,t因此右端必有热量xa2(-kvl)(-tx)流入,注意右端流入应点乘(- 同时,侧面还与外界热交换:单位面积热流=K(-),从侧面流出的热量为:k(a-l0)2radx 从而:ra2(-kV)(-儿a+xa2(-kVn)-k(u-0)2xadx=(pra2dx)cu(x,D (a-0),其中利用了:(a)tx=lx(方向导数) 目例3:试在球对称温度分布条件下导出匀质孤立球体的热传导方程 解:本题当然可以借助三维热传导方程在球坐标系的形式导出。现直接推导 同一球层的温度相同,温度可表为:u(r,n),与极角θ和方位角d无关。考虑r到r+dr的一小薄球壳 由内表面流入球壳的热量为:丌,有=-kVB,流入的热量为:-4x2k叫=-4xkB,0 外表面流入球壳的热量:x(+)2小(-2),q=-kN流入的热量为:4x(+su= dr lr+dr 4Trkur(r+dr, t) 球壳单位时间温度升高吸收的热量:4 Tr-drpcun 从而:4x(r+dr)2k =4丌r2 drpc 简化:1 令U(r,0=ru(r,n),方程可化为:U1-a2U=0,a2 θ例4:细杄两端与外界(温度为)有热交换,求细杆两端的温度所满足的条件 解:x=0端:由牛顿冷却定律:2=K(x-1)(-2),注意在x=0的外法线方向是(-2) 据傅里叶定律:乙=-kV两边同点A,k(0.0=10.0-m1,即:a(0.0-a0.=-m0 x=l端:d=K(u-10),类似可求得:kl(,1)=-k1(,)-l01,即:at(,+-u(,= 特别注意,x=0与x=l两端相差一个负号。 93稳定问题 在一定条件下,温度达到稳定,则温度分布满足 Poisson方程 f 若体系内无热源,则退化为 Laplace方程 V2u=0 均匀介质中的静电势φ(x,y,z),也满足 Poisson方程 v2y=-,其中p为电荷密度,为介质的静电介电常数 若无电荷分布的空间,静电势也满足 Laplace方程 若波动方程解：同一截面的温度相同 ，退化为一维问题 ：u(x, t)。考虑 x 到 x + x 的一小段 。 左端有温度梯度 ：∇u = ux(x, t) e  x，必对应于 - k ∇u 的热流密度矢量 ，故左端必有热量 π a2 (-k ∇u)· e  x 流入 右端有温度梯度 ：∇u = ux(x + x, t) e  x，因此右端必有热量 π a2 (-k ∇u)·-e  x 流入，注意右端 流入应点乘 -e  x。 同时，侧面还与外界热交换 ：单位面积热流 Q = K (u - u0) e  r, 从侧面流出的热量为 ：K (u - u0) 2 π a x 从而：π a2 (-k ∇u)·-e  x x+x + π a2 (-k ∇u)· e  x x - K(u - u0) 2 π a x = ρ π a2 x c ut(x, t) 整理：ut = k ρ c uxx - 2 K a ρ c (u - u0)， 其中利用了 ：(∇u)· e  x = ux （方向导数 ） ☺ 例 3：试在球对称温度分布条件下导出匀质孤立球体的热传导方程。 解：本题当然可以借助三维热传导方程在球坐标系的形式导出 。现直接推导 。 同一球层的温度相同 ，温度可表为 ：u(r, t)，与极角 θ 和方位角 ϕ 无关。考虑 r 到 r + r 的一小薄球壳 。 由内表面流入球壳的热量为 ：π r2 q· e  r, q = -k ∇u, 流入的热量为 ：-4 π r2 k ∂ u ∂ r r = -4 π r2 k ur (r, t) 外表面流入球壳的热量 ：π (r + r)2 q·-e  r, q = -k ∇u, 流入的热量为 ：4 π (r + r) 2 k ∂ u ∂ r r+r = 4 π r2 k ur (r + r, t) 球壳单位时间温度升高吸收的热量 ：4 π r2 r ρ c ut 从而：4 π (r + r)2 k ∂ u ∂ r r+r -4 π r2 k ∂ u ∂ r r = 4 π r2 r ρ c ut 简化：ut = k r2 ρ c ∂ r2 ur(r, t) ∂ r , 令 U(r, t) = r u(r, t), 方程可化为 ：Ut - a2 Urr = 0，a2 = k ρ c ☺ 例 4：细杆两端与外界（温度为 u0）有热交换，求细杆两端的温度所满足的条件。 解：x = 0 端：由牛顿冷却定律 ：Q = K (u -u0) -e  x，注意在 x = 0 的外法线方向是 -e  x 据傅里叶定律 ：Q = -k ∇u 两边同点乘e  x k ux(0, t) = K[u(0, t) - u0], 即：ux(0, t) - K k u(0, t) = - K k u0 x = l 端：Q = K (u -u0) e  x, 类似可求得 ：k ux(l, t) = -K[u(l, t) - u0], 即：ux(l, t) + K k u(l, t) = K k u0 特别注意 ，x = 0 与 x = l 两端相差一个负号 。 9.3 稳定问题 在一定条件下，温度达到稳定，则温度分布满足Poisson方程 ut - k ρ c ∇2 u = f ρ c ⟹ ∇2 u = - f k 若体系内无热源，则退化为Laplace方程 ∇2 u = 0 均匀介质中的静电势 φ(x, y, z)，也满足Poisson方程 ∇2 φ = -ρ ε ， 其中 ρ 为电荷密度 ，ε 为介质的静电介电常数 。 若无电荷分布的空间，静电势也满足Laplace方程。 若波动方程 z09a.nb 7