a2 u avon=o dr 中,(x,y,,D随时间周期变化(称为时谐场),则可用复数表示物理场:x,y=,=Re(r,y,)c-4 代入波动方程,可得vx,y,)满足的方程: v2v(x,y,z)+k2(x,y,z)=0此方程称为 Helmhol方程。k=u/a为波数 94二阶线性常系数偏微分方程的分类 上几节导出了物理中常见的几种方程: 波动方程:n-a2@2 扩散方程:n-a21n=0 ar ax2 ■稳定问题:n+2n=0(为讨论简单起见,以二维静电势为例。) 这三种方程似有相似,又有不同。可以证明,这三种方程代表了所有二阶线性偏微分方程的行为。 本节以这三种方程为例,讨论偏微分方程的一些基本性质 Q常数系数二元二阶偏微分方程的分类 考虑如下形式的偏微分方程 →8+B=+C=,=0,其中A,B,C为常数 (1.4) 即使看起来如此简单的方程,在一般情况下也不是很容易直接求解 种尝试:若能做以下变量(“坐标”)变换 ∫=ax+Bt 将偏微分方程化为如下形式 asan 那求解就相当容易,因为该方程的解为 =F()+G(),其中:F,G可以为任意函数 能否做这种变化?如何通过“坐标”变换? 尝试选取参数:a,β,y,δ使得方程(l4)化为方程(1.5)形式。利用 a as a an B—等复合函数求导法则 ax dx as dx an as an 即可将方程(14)化为∂2 u ∂ t 2 - a2 ∇2 u = 0 中，u(x, y, z, t) 随时间周期变化（称为时谐场），则可用复数表示物理场：u(x, y, z, t) = Rev(x, y, z) - ω t  代入波动方程，可得 v(x, y, z) 满足的方程： ∇2 v(x, y, z) + k2 v(x, y, z) = 0 此方程称为 Helmholtz方程。k = ω/a 为波数。 9.4 二阶线性常系数偏微分方程的分类 上几节导出了物理中常见的几种方程： ◼ 波动方程： ∂2 u ∂ t 2 - a2 ∂2 u ∂ x2 = 0 ◼ 扩散方程： ∂ u ∂ t - a2 ∂2 u ∂ x2 = 0 ◼ 稳定问题： ∂2 u ∂ x2 + ∂2 u ∂ y2 = 0 （为讨论简单起见，以二维静电势为例。） 这三种方程似有相似，又有不同。可以证明，这三种方程代表了所有二阶线性偏微分方程的行为。 本节以这三种方程为例，讨论偏微分方程的一些基本性质。  常数系数二元二阶偏微分方程的分类 考虑如下形式的偏微分方程 A ∂2 φ ∂ t 2 + B ∂2 φ ∂ t ∂ x + C ∂2 φ ∂ x2 = 0， 其中 A, B, C 为常数。 (1.4) 即使看起来如此简单的方程，在一般情况下也不是很容易直接求解。 一种尝试：若能做以下变量（“坐标”）变换  ξ = α x + β t η = γ x + δ t 将偏微分方程化为如下形式： ∂2 φ ∂ ξ ∂ η = 0， (1.5) 那求解就相当容易, 因为该方程的解为： φ = F(ξ) + G(η), 其中：F, G 可以为任意函数 。 能否做这种变化？如何通过“坐标”变换？ 尝试选取参数：α, β, γ, δ 使得方程 (1.4) 化为方程 (1.5) 形式。利用 ∂ ∂ x = ∂ ξ ∂ x ∂ ∂ ξ + ∂ η ∂ x ∂ ∂ η = α ∂ ∂ ξ +β ∂ ∂ η 等复合函数求导法则 即可将方程 (1.4) 化为 8 z09a.nb