z09a. nb 9 eq1=AD[φ[x,t],[t,2}]+BD[D[φ[x,t],x],t]+cD[φ[x,t],x,2}] eq1 / TraditionalForm im1=【5→ax+Bt,n+首x+6t} sim={q[x,t]→中[§,n], φo;2)【x,t]→D[φ[5,n/.sim1,t,2]] q(1;1)【x,t]→D[D[φ[E,n]/.sim1,t],x] so1=Sove[{5=ax+Bt,η=丫x+bt},{x,t}] eq2 eq1 / sim/. sol[[1]] Simplify [eq2]// TraditionalForm A (0,2)(x, n)+B(l, (x, t)+cy2,o)(x, n) 6020(6,m(4P+aBB+a2d)+du6,m)2AB6+aB6+By+2acy)+602),m)(6(46+By)+cy2) (B+ BaB+ca)y +[2AB8+B(a8+By)+acYl a2+By6+Cy)2=0 为了化为方程(15)形式:B29-=0,必须 AB2+BaB+Ca2=0, A82+By8+Cy=0 四个参数,两个方程? 实际上,我们没有必要求出四个参量:a,B,y,,只需求出比值m1=B/a与n2=6/y,这两个比值满足方程 -B±yB2-4AC An+Bn+C=0方程相同 A+B5+C=0 2==-B±VB2-4AC 因为原方程(14)中的u是二变量函数,经变换,{=ax+B→{5=x+1 ln=x+n 也应该是两(独立)变量的函数,因此,n与n2应取不同的值 为此,有三种情况 1.B2-4AC>0,这时有两个实根,可取 E=2Ax+-B+√B2-4AC /2-4AC 得方程(1.4):4甲+B+CQ ar atax ax2 化为方程(1.5)形式 0。这时称双曲型方程 n 因为此时再令u=E+n,v=E-,(1.5)形式可在化为 =0形如双曲线,这种形式也称为双曲型方程的标准形式 asan au2 a12 波动方程就如这种形式。—波动方程是双曲型微分方程 2.B2-4AC=0,仅有一个实根n1=n2=-B/(2A),可取: E=2Ax-Bt,n=t(相当于取功2=0,没有两根以0替代)eq1 = A D[φ[x, t], {t, 2}] + B D[ D[φ[x, t], x], t] + c D[φ[x, t], {x, 2}]; eq1 // TraditionalForm sim1 = {ξ  α x + β t, η  γ x + δ t}; sim = {φ[x, t]  ϕ[ξ, η], φ(0,2)[x, t]  D[ϕ[ξ, η] /. sim1, {t, 2}], φ(1,1)[x, t]  D[D[ϕ[ξ, η] /. sim1, t], x], φ(2,0)[x, t]  D[ϕ[ξ, η] /. sim1, {x, 2}]}; sol = Solve[{ξ  α x + β t, η  γ x + δ t}, {x, t}]; eq2 = eq1 /. sim /. sol[[1]]; Simplify[eq2] // TraditionalForm A φ(0,2) (x, t) + B φ(1,1) (x, t) + c φ(2,0) (x, t) ϕ(2,0) (ξ, η) A β2 + α β B + α2 c + ϕ(1,1) (ξ, η) (2 A β δ + α B δ + β B γ + 2 α c γ) + ϕ(0,2) (ξ, η) δ (A δ + B γ) + c γ2 A β2 + B α β + C α2  ∂2 φ ∂ ξ2 + [2 A β δ + B(α δ + β γ) + 2 α C γ] ∂2 φ ∂ ξ ∂ η + A δ2 + B γ δ + C γ2 ∂2 φ ∂ η2 = 0 为了化为方程 (1.5) 形式： ∂2 φ ∂ ξ ∂ η = 0，必须 A β2 + B α β + C α2 = 0, A δ2 + B γ δ + C γ2 = 0 —— 四个参数 ，两个方程 ？ 实际上，我们没有必要求出四个参量：α, β, γ, δ, 只需求出比值 η1 = β/α 与 η2 = δ/γ，这两个比值满足方程 A η1 2 + B η1 + C = 0 A η2 2 + B η2 2 + C = 0 方程相同 η1 = 1 2 A -B ± B2 - 4 A C η2 = 1 2 A -B ± B2 - 4 A C 因为原方程 (1.4) 中的 u 是二变量函数，经变换， ξ = α x + β t η = γ x + δ t ⟹  ξ = x + η1 t η = x + η2 t ， 也应该是两（独立）变量的函数，因此， η1与 η2 应取不同的值。 为此，有三种情况： 1. B2 - 4 A C > 0, 这时有两个实根，可取： ξ = 2 A x + -B + B2 - 4 A C t η = 2 A x + -B - B2 - 4 A C t 得方程 (1. 4)：A ∂2 φ ∂ t 2 + B ∂2 φ ∂ t ∂ x + C ∂2 φ ∂ x2 = 0 化为方程 (1. 5) 形式： ∂2 φ ∂ ξ ∂ η = 0。 这时称双曲型方程。 因为此时再令 u = ξ + η, v = ξ - η, (1. 5) 形式可在化为 ∂2 φ ∂ ξ ∂ η = 0 ⟹ ∂2 φ ∂ u2 - ∂2 φ ∂ v2 = 0 形如双曲线 ，这种形式也称为 双曲型方程的标准形式 波动方程就如这种形式 。—— 波动方程是双曲型微分方程 。 2. B2 - 4 A C = 0, 仅有一个实根 η1 = η2 = -B/(2 A)，可取： ξ = 2 A x - B t, η = t （相当于取 η2 = 0，没有两根以 0 替代） z09a.nb 9