查积分表得： X=fe-x212a2 0 x= √2元 2W1/2a2 。2-2-2=j2f--f3.212a2dk-a2m 2 2 0 0 =-Ca2jx2de212a2_- -x2e-x212a2 0 0 e-r212a2 2 -2a2 -a=-2a2er212a2 aπ 2a2-2 2 0 =2a2-a2π =a2-2 3.如果xy)是xy的几率密度分布函数，即几xy)是变量X在x和x+dx之间以 及变量Y在y和叶dy之间的几率。如果X和Y是独立的，即 fx.y)dxdy=fi(x)(y)dxdy 如果W=X+Y,试证明 币=X+7 以及 w-}=(x-}+-}, 即是说如果X和Y是独立的，那么它们的和的平均值和散差等于它们的平 均值的和和散差的和。 解答： 太简单了。不证了。 4.在统计力学里尤其是动力学里经常遇到Gaussian函数的积分。考虑下列零级 的Gaussian积分Io(a)和gamma函数T(x): aa-0ear2d在 r=0-。a a.计算lo(a)的平方 dedy b.证明如下gamma函数的性质：查积分表得： a a x e dx x a 2 2 2 1/ 2 2 0 / 2 2 2  =  = =   − c. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 0 2 / 2 2 0 2 2 2 / 2 2 0 / 2 2 0 2 / 2 2 0 2 2 / 2 2 0 3 / 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  = −  = − −  = −  −         = − −  = − −  = −   = − = −  −  −  −  −  −  −       a a a a e a a x a e d a x e e dx a Ca x de a Cx e dx a x x x f x dx x a x a x a x a x a x a 2 2   = a − 3. 如果 f(x,y)是 x,y 的几率密度分布函数，即 f(x,y)是变量 X 在 x 和 x+dx 之间以 及变量 Y 在 y 和 y+dy 之间的几率。如果 X 和 Y 是独立的，即 f(x,y)dxdy = f1(x)f2(y)dxdy. 如果 W = X + Y, 试证明 W = X +Y 以及 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 W −W = X − X + Y −Y ， 即是说如果 X 和 Y 是独立的，那么它们的和的平均值和散差等于它们的平 均值的和和散差的和。 解答： 太简单了。不证了。 4. 在统计力学里尤其是动力学里经常遇到 Gaussian 函数的积分。考虑下列零级 的 Gaussian 积分 I0()和 gamma 函数(x)：    − −  −  =  = 0 1 0 0 ( ) ( ) 2 x t e dt I e dx x t x a. 计算 I0()的平方   − − = 0 2 0 2 2 I e e dxdy x y b. 证明如下 gamma 函数的性质：