1.假定某种类型的分子的许可能级为0,8,2,38..，而且是非简并的。如果 体系有6个不可区分的分子，问总能量为3是有多少种分布？计算每种分布 出现的几率。如果0和ε两个能级是非简并的，而2ε和3两个能级分别为6 度和10度简并，重复刚才的计算。 解答： 由于是不可区分粒子，三种分布所占的几率都是1/3。第二种情况，则第 一种分布的不同排布数目是10，第二种为6种，第三种是1种，所以几率分 布为10/17,6/17,1/17. 48 As 38 38 38 2 28 3 2.Rayleigh分布的几率密度函数是 f(x)=Cxe-x2/2a2 其中a>0以及x≥0。 a.确定常数C。 b.计算x的平均值。 c.计算标准偏差o。 解答： a.根据几率密度函数的性质： ∫f(x)dk=1 ∫fk=fce212a2=ca2。-212a24 =-Ca2e-x2/2a2|m Ca? 0 C=1/a2 b. -JxF(x)dk=d=-Ca xde 0 0
1. 假定某种类型的分子的许可能级为 0，，2，3…，而且是非简并的。如果 体系有 6 个不可区分的分子，问总能量为 3是有多少种分布？计算每种分布 出现的几率。如果 0 和两个能级是非简并的，而 2和 3两个能级分别为 6 度和 10 度简并，重复刚才的计算。 解答： 由于是不可区分粒子，三种分布所占的几率都是 1/3。第二种情况，则第 一种分布的不同排布数目是 10，第二种为 6 种，第三种是 1 种，所以几率分 布为 10/17, 6/17, 1/17。 0 1 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 4 1 1 0 1 2 3 4 3 3 2. Rayleigh 分布的几率密度函数是 2 2 / 2 ( ) x a f x Cxe− = ， 其中 a > 0 以及 x 0。 a. 确定常数 C。 b. 计算 x 的平均值。 c. 计算标准偏差。 解答： a. 根据几率密度函数的性质： ( ) = 1 f x dx 2 0 2 / 2 0 2 2 2 / 2 0 / 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ( ) Ca e Ca a x f x dx Cxe dx C a e d x a x a x a = = = − = − − − C = 1/a 2 b. − − − − − = = − − = = = − 0 / 2 0 / 2 0 2 / 2 0 2 / 2 0 2 / 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) Ca x e e dx e dx x x f x dx Cx e dx Ca xde x a x a x a x a x a
查积分表得： X=fe-x212a2 0 x= √2元 2W1/2a2 。2-2-2=j2f--f3.212a2dk-a2m 2 2 0 0 =-Ca2jx2de212a2_- -x2e-x212a2 0 0 e-r212a2 2 -2a2 -a=-2a2er212a2 aπ 2a2-2 2 0 =2a2-a2π =a2-2 3.如果xy)是xy的几率密度分布函数，即几xy)是变量X在x和x+dx之间以 及变量Y在y和叶dy之间的几率。如果X和Y是独立的，即 fx.y)dxdy=fi(x)(y)dxdy 如果W=X+Y,试证明 币=X+7 以及 w-}=(x-}+-}, 即是说如果X和Y是独立的，那么它们的和的平均值和散差等于它们的平 均值的和和散差的和。 解答： 太简单了。不证了。 4.在统计力学里尤其是动力学里经常遇到Gaussian函数的积分。考虑下列零级 的Gaussian积分Io(a)和gamma函数T(x): aa-0ear2d在 r=0-。a a.计算lo(a)的平方 dedy b.证明如下gamma函数的性质：
查积分表得： a a x e dx x a 2 2 2 1/ 2 2 0 / 2 2 2 = = = − c. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 0 2 / 2 2 0 2 2 2 / 2 2 0 / 2 2 0 2 / 2 2 0 2 2 / 2 2 0 3 / 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − = − − = − − = − − = − − = − = − = − − − − − − − a a a a e a a x a e d a x e e dx a Ca x de a Cx e dx a x x x f x dx x a x a x a x a x a x a 2 2 = a − 3. 如果 f(x,y)是 x,y 的几率密度分布函数，即 f(x,y)是变量 X 在 x 和 x+dx 之间以 及变量 Y 在 y 和 y+dy 之间的几率。如果 X 和 Y 是独立的，即 f(x,y)dxdy = f1(x)f2(y)dxdy. 如果 W = X + Y, 试证明 W = X +Y 以及 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 W −W = X − X + Y −Y ， 即是说如果 X 和 Y 是独立的，那么它们的和的平均值和散差等于它们的平 均值的和和散差的和。 解答： 太简单了。不证了。 4. 在统计力学里尤其是动力学里经常遇到 Gaussian 函数的积分。考虑下列零级 的 Gaussian 积分 I0()和 gamma 函数(x)： − − − = = 0 1 0 0 ( ) ( ) 2 x t e dt I e dx x t x a. 计算 I0()的平方 − − = 0 2 0 2 2 I e e dxdy x y b. 证明如下 gamma 函数的性质：
(1)r(1)=1 (2)T(x+1)=xT(x) (2)对于正整数n:「(n+1)=nl c.证明「(1/2)=√元 解答： 方法-：后=eare=医近。无 2a2a 4a 方法二（李周，吴雯，顾怡，张灯等）： 6=0ea2+,2=2er闲 (变到球坐标中积分，因为x20,y≥0，所以只积分平面的正区间，即 0≤0≤π/2) 6=-a5g2。war2w=a 6 r(1)--ledi=-eo=1 x+0=0r。h=-re=e6-0ea -xe-dr =x(x) T(n+1)=nT(n=nn-1r(n-1)=nn-l)…lr(①=nr)=m ra2)-b2 5.对于处在一维晶格中的原子，设晶格常数为a,每隔一段时间tn,原子向左 跳动的几率为p,而向右跳动的几率为1-p,问经过一段时间Wtn后，原子 偏离原来位置的距离x的平均值及其相对标准偏差。 1-p
x 1-p p (1) (1) = 1 (2) (x +1) = x(x) (2) 对于正整数 n: (n +1) = n! c. 证明 (1/ 2) = 解答： a. 方法一： a a a I e e dxdy x y 0 2 2 4 2 0 2 2 = = = − − 方法二（李周，吴雯，顾怡，张灯等）： − + − = = 0 / 2 0 0 2 ( ) 0 2 2 2 I e dxdy e rdrd x y r （变到球坐标中积分，因为 x0, y0，所以只积分平面的正区间，即 0/2） a a e d ar d a I r 2 2 4 1 ( ) 2 1 0 / 2 0 2 2 0 2 = = − = − b. ( ) ( 1) (1) 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 x t e dt x x x t e dt t de t e e dt t e dt e x t x t x t x t t x t t = = + = = − = − − = = − = − − − + − − − − − − − (n +1) = n(n) = n(n −1)(n −1) = n(n −1)1(1) = n!(1) = n! c. ( ) = = = = − − − 2 (1/ 2) 2 2 0 0 1/ 2 2 t e dt e d t t t 5. 对于处在一维晶格中的原子，设晶格常数为 a，每隔一段时间 t0，原子向左 跳动的几率为 p，而向右跳动的几率为 1-p，问经过一段时间 t=Nt0 后，原子 偏离原来位置的距离 x 的平均值及其相对标准偏差
提示：利用二项式分布（请自学）。可以利用p=12时验证自己的结果是否正确。 解答： 假定在时间No内，原子向左跳了n次，而向右跳了N-n次，则原子所处的 位置为：x=na-(N-n)a=(2n-N)a。则： x=(2n-N)a=(2n-N)a=(2p-1)Na (根据定义p=n/N) SD2 =[(2n-N)aP-((2n-N)a)"=(2n-N)a a2(4n2-4nN+N2)-(na-Na) =4a2n2-4nNa2+a2w2-4n2a2+4a2-a2w2 =4a22-2） 由讲义： 原-2)=p-p) 标准偏差： SD=2aNp(1-p) 相对标准偏差： SD 2a Np(1-p)2p(1-p)1 x (2p-1)Na (2p-1)√N 6.经典Maxwell-Boltzmann统计认为粒子是可区分的，并且对同一个状态上可 以排布的粒子数目没有限制（可以想想量子的Pauli不相容原理，对于电子 同一个状态上是不可以排两个电子的)。固体就是这样的体系（它的原子固 定在各自的位置上，因而可以用原子的空间位置区分原子)。对于这样的体 系，总的状态数目是 D=M7 ni! 其中是能级i(能量为)上的粒子排布数目，g是这一能级的简并度。试证 明，这样的体系 a)ni=gie-dee b)定义分子的配分函数为Q=∑gie Bei,利用Boltzmann关系式S=⑧ln2证明 熵可以表示成下式
提示：利用二项式分布（请自学）。可以利用 p=1/2 时验证自己的结果是否正确。 解答： 假定在时间 Nt0 内，原子向左跳了 n 次，而向右跳了 N-n 次，则原子所处的 位置为：x = na - (N-n)a = (2n-N)a。则： x = (2n − N)a = (2n − N)a = (2 p −1)Na （根据定义 p = n / N ） ( ) ( ) = − − + − + − = − − = − + = − − − = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 2 (2 ) (2 ) (2 ) a n n a n nNa a N n a nNa a N a n nN N na Na SD n N a n N a n N a 由讲义： (1 ) 2 2 n n = Np − p − 标准偏差： SD = 2a Np(1− p) 相对标准偏差： p N p p p Na a Np p x SD 1 (2 1) 2 (1 ) (2 1) 2 (1 ) − − = − − = 6. 经典 Maxwell-Boltzmann 统计认为粒子是可区分的，并且对同一个状态上可 以排布的粒子数目没有限制（可以想想量子的 Pauli 不相容原理，对于电子 同一个状态上是不可以排两个电子的）。固体就是这样的体系（它的原子固 定在各自的位置上，因而可以用原子的空间位置区分原子）。对于这样的体 系，总的状态数目是 = i i n i n g N i ! ! 其中 ni 是能级 i （能量为i）上的粒子排布数目，gi 是这一能级的简并度。试证 明，这样的体系 a) i n g e e i i − − = b) 定义分子的配分函数为 − = i i i Q g e ，利用 Boltzmann 关系式 S = kBln证明 熵可以表示成下式
S=kB(BE NlnO) c)如果我们己经知道B=l/sT,试证明Helmholtz自由能是： A=-NkBTInO 解答： 实在抱歉，Boltzmann关系式我写错了，应该为S=ln2。我想你们都很聪明， 可以猜到是我写错了。 )证明过程基本上是照讲义的做法做一遍，小心一点就不会错了。 b) 令=kghΩ=kgh =k如Nhv-N+∑%h-,h%-∑% =kB -2爱-h-交ee =kB Nhv-he-a∑%-∑，he1 =kB(NIn +BE) 另外一种做法（王贝贝） 5=hN-空hg句n空4-空he =kgNh∑e-Bei-he“∑片-∑ee kpwmeu +Nh -Nheupn =kB(NInQ+BE) c) A=E-TS =E-kBT(NInQ+BE) =E-kBT(NInO+E/kBT) =-NkBT In O
S = kB(E + NlnQ) c) 如果我们已经知道 = 1/kBT, 试证明 Helmholtz 自由能是： A = -NkBTlnQ 解答： 实在抱歉，Boltzmann 关系式我写错了，应该为 S = kBln。我想你们都很聪明， 可以猜到是我写错了。 a) 证明过程基本上是照讲义的做法做一遍，小心一点就不会错了。 b) k (N Q E) n e N k N k N N e n n e k N N n e e g n k N N n k N N N n g n n n n g S k k N i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i n i i i i = + = + = − − = − = − = − + − − = = − − − − − ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ! ln ln ! B B B B B B B B 另外一种做法（王贝贝） k (N Q E) k N e N e N e n k N e e e n n e k N n n e e g n S k N N n i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i = + = + − + = − − = − = − − − − − − − − − − ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln B B B B B c) ( ) ( ) Nk T Q E k T N Q E k T E k T N Q E A E TS ln ln / ln B B B B = − = − + = − + = −
