第三章！ 实验数据的参数估计
数理统计在化学中的应用 第三章 实验数据的参数估计
Center for Theoretical Chemical Physics Laboratory of Molecular Catalysis&Inovative Material $3.1.2：期笔值的算规时 1.E(x)=lim =u (3-1) n D(x)=E[(x-u)2] (3-2) 2.E(a)=lim na a (3-3) n n D(a=E[(a-a)2]=0 (3-4) 3.E(ax)=a E(x) (3-5) D(ax)=a2 D(x) (3-6) 4.E(∑x)=∑E(x)=u (3-7) D(∑x,)=∑D(x)=nD(x)=no2 (3-8) 振华制 数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 数理统计在化学中的应用 造 $3.1.2: 期望值的运算规则 2 1. ( ) lim (3-1) ( ) [( - ) ] (3- 2) 2. ( ) lim x E x n D x E x a na E a a n n 2 2 (3-3) ( ) [( - ) ] 0 (3- 4) 3. ( ) ( ) (3-5) ( ) ( ) D a E a a E ax a E x D ax a D x 2 (3-6) 4. ( ) ( ) (3-7) ( ) ( ) ( ) (3-8) i i E x E x n D x D x n D x n
Center for Theoretical Chemical Physics poratory of molecular Catalysis innovative mater S3-1-2:期望值的透算规对 设x,y是互相独立的随机变量 5.E(x±y)=E(x)±E(y) (3-9) D(x±y)=D(x)+D(y) (3-10) 6.E(xy)=E(x)*E(y) (3-11) 7.E(x/y)≠E(x)/E(y) (3-12) 如果x,y并非互相独立 8.D(x±y)=D(x)+D(y)±2Cov(x,y) (3-13) CoV(x,y)是随机变量X,y的依方差，它是用来表征x与y之间相关 性的一个量。当x,y是互相独立的随机变量时，C0V(x)=0。 振华 数理统计在化学中的应用 造
李 振 华 制 数理统计在化学中的应用 造 $3-1-2: 期望值的运算规则 5. ( ) ( ) ( ) (3-9) ( ) ( ) ( ) (3-10) 6. ( ) ( )* ( ) E x y E x E y D x y D x D y E xy E x E y (3-11) 7. ( / ) ( ) / ( ) E x y E x E y (3-12) 设x, y是互相独立的随机变量 如果x, y并非互相独立 8. ( ) ( ) ( ) 2 Cov( , ) D x y D x D y x y (3-13) Cov(x,y)是随机变量x,y的协方差，它是用来表征x与y之间相关 性的一个量。当x,y是互相独立的随机变量时，Cov(x,y)=0
Center for Theoretical Chemical Physics Laboratory of Molecular Catalysis mnovative Material 90 $3.1.3：几个重要的关系 62 D(ax)a2 D(x) D) n Dx=X)-Σ列-∑D刻 nD(x)=D( 1 n n n 李振华 数理统计在化学中的应用 造
李 振 华 制 数理统计在化学中的应用 造 $3.1.3: 几个重要的关系 2 D x( ) = n 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) x D x D D x D x n n n D x nD x n n n 2 D ax a D x ( ) ( )
e Center for Theoretical Chemical Physics FMolecular Catalysis&及Innov分 学生分布 z X-u o/√n T= X-a SIn 李振华 数理统计在化学中的应用 造
李 振 华 制 数理统计在化学中的应用 造 学生分布 / X n T S n / Xn Z n
Center for Theoretical Chemical Physics Laboratory of Molecular Catalysis mnovative Material $3.1.3：几个重要的关系 D(x)=E(x2)-[E(x)] D(x)=E{[x-E(x)]}=E{x2-2xE(x)+[E(x)]2} =E(x2)-2E[xE(x)】+E{[E(x)]} =E(x2)-2[E(x)]2+[E(x)]2 =E(x2)-[E(x)] ∑x-x=∑x2-,（∑x) 李振华制 数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 数理统计在化学中的应用 造 $3.1.3: 几个重要的关系 2 2 D x E x E x ( ) = ( ) [ ( )] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) {[ ( )] } { 2 ( ) [ ( )] } ( ) 2 [ ( )] {[ ( )] } ( ) 2[ ( )] [ ( )] ( ) [ ( )] D x E x E x E x xE x E x E x E xE x E E x E x E x E x E x E x 2 2 2 1 ( ) i i i x x x x n
Center for Theoretical Chemical Physics Laboratory of Molecular Catalysis&lnovative Material $3.1.3：几个重要的天系 样本的怕方差 ∑G- 的数学期望值是 n -1=2--8- =ELx-w-2∑(x=x-四，∑=w n n =EZ飞=，--w时] n =E(x,-u)2)-D(x)=D(x)-D(x) n n 张华制 数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 数理统计在化学中的应用 造 $3.1.3: 几个重要的关系 2 ( ) i x x n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) [( ) ( )] [ ] { } ( ) ( )( ) ( ) = { 2 } ( ) { } [( ) ] (( ) ) ( ) ( ) ( ) 1 i i i i i i x x x x E E n n x x x x E n n n x E E x n E x D x D x D x n n n 样本的均方差 的数学期望值是 n 1 2 n
Center for Theoretical Chemical Physics Laboratory of molecular Catalysis innovative material $3.1.4克体特亚统计量 总体平怕值μ，怎体方差σ2 洲3-1：分子运动速牵的期望值 3/2 f(v)d=4π m 2元kgT 3/2 2 E)=f(m)=04 m e 2k y'dy 8kgT 元m 振华制 数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 数理统计在化学中的应用 造 $3.1.4 总体特征统计量 总体平均值，总体方差 2 例3-1：分子运动速率的期望值 2 B 3/ 2 2 2 B ( ) 4 2 mv m k T f v dv e v k T 2 B 3/ 2 2 2 0 0 B B ( ) ( ) 4 2 8 mv m k T E v vf v dv v e v dv k T k T m
Center for Theoretical Chemical Physics Laboratory of Molecular Catalysis Innovative Material $3.2克体参数的点估计 实脸测定了一组数据，怎样来推测怎体的参数，判断 数据的好怀，有致性？ 点估计：用样本数据算出对应总体参数的“最 佳值”，如总体均值μ，总体方差σ2等。 S3.2.1良好点估计的条件： 1.一致性 任意大于0的数 m2,-Qkc0>@是0的一致性估计量 估计值 振华制 数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 数理统计在化学中的应用 造 $3.2 总体参数的点估计 实验测定了一组数据，怎样来推测总体的参数，判断 数据的好坏，有效性？ 点估计：用样本数据算出对应总体参数的“最 佳值”，如总体均值，总体方差2等。 $3.2.1 良好点估计的条件: 1. 一致性 ˆ lim | | 0 n n Q Q 估计值 任意大于0的数 ˆ Q Q n 是 的一致性估计量
Center for Theoretical Chemical Physics Laboratory of Molecular Catalysis mnovative Material $3.2克体参数的点估计 2.无偏性 估计值的平均值应该等于被估计值的真值 E(X)=p E(S2)=o2 3.有效性 测量次数越多，估计值就越有效 4.充分性 充分提取了样本中可以利用的所有信息。 振华制 数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 数理统计在化学中的应用 造 $3.2 总体参数的点估计 2. 无偏性 估计值的平均值应该等于被估计值的真值 E X( ) 2 2 E S( ) 3. 有效性 测量次数越多，估计值就越有效 4. 充分性 充分提取了样本中可以利用的所有信息