第三讲：分子的对称性与群论基础 群与分子点群
第三讲：分子的对称性与群论基础 群与分子点群
群与分子点群 1.群的定义 考虑一组元素的集合G{,B,C,D,E,},元素之间可以定义结合规 则（“乘法”)，若满足以下条件，则称该组元素的集合构成一个群： (1)封闭性 若A和B是该集合的任意两个元素，则它们的积AB也一定是 该集合的元素。 (2)结合性 结合规则满足结合律： (AB)C=A(BC) (3)恒等元素 该集合必须含有一个元素E,对于该集合中的任何元素A, 都有：AE=EA=A (4)逆元素 对于该集合的任何元素A,一定有一个逆元素A1,它也是 该集合的一个元素，使得：AA-1=A-1A=E >2
1 群的定义 群与分子点群 . 考虑一组元素的集合G{A，B，C，D，E，…},元素之间可以定义结合规 则（“乘法”）,若满足以下条件 若满足以下条件,则称该组元素的集合构成 个群 则称该组元素的集合构成一个群: (1)封闭性 若 和 是该集合的任意两个 素 则它们的积 也 定是 (2) 结合性 若A和B是该集合的任意两个元素，则它们的积AB也一定是 该集合的元素。 (3) 恒等元素 (2) 结合性 结合规则满足结合律: (AB)C=A(BC) (3) 恒等元素 该集合必须含有一个元素 E，对于该集合中的任何元素 A， 都有：AE=EA=A (4) 逆元素 对于该集合的任何元素 A，一定有一个逆元素A-1，它也是 该集合的 个元素 使得 AA 1 A 1A E 都有 2 该集合的一个元素，使得： AA-1= A-1A = E
群与分子点群 1.群的定义 *群元素：数、矩阵、对称操作、算符 米阶： 群元素的数目 米乘法： 元素间的某种结合规则，须满足结合律。 乘积元素的逆： (AB)-1=B-1A-1 (B-1A-1)(AB)=B-1(A 1A)B=E *交换群： 如果所有的群元素间的乘法全都对易（即 AB=BA,ACCA,·.),则称为阿贝尔群(Abelian群)或交换 群。 交换群的一个特例是循纤℃？群的所有元素可由某个元素 31 的自身乘积产生)。 列加.个群
1 群的定义 群与分子点群 . * 群元素: 数、矩阵、对称操作、算符 * 阶： 群元素的数目 * 乘法： 元素间的某种结合规则，须满足结合律。 乘积元素的逆： (AB)-1 = B-1A-1 (B-1A-1)(AB) =B-1 (A- 1A)B=E * 交换群： 如果所有的群元素间的乘法全都对易 如果所有的群元素间的乘法全都对易 (即 AB=BA, AC=CA, …. )，则称为阿贝尔群(Abelian群)或交换 群。 交换群的一个特例是循环群 C ˆ C（ ˆ 群的所有元素可由某个元素 C ˆ E ˆ 2 3 3 交换群的 个特例是循环群（群的所有元素可由某个元素 的自身乘积产生）。 例如： C3群： C3 , C3 , C3 E
群与分子点群 2.例子 1)、全部正、负整数及零的集合，结合规则是数的加法。 说明 (1)结合性：数的加法具有结合性 (2)封闭性：整数的加和仍为整数 (3)恒等元素：0 (4)逆元素：相反数(1与-1,2与- 2)、数组：G={+1,-1,i,-, 结合规则是数 的乘法明：(1) 结合性：满足 (2)封闭性：满足 (3)恒等元素：+1 (4) 逆元素：（i)-1=-i,（-1) 1=-1 同理： 数组 G={+1,- 构成二阶群 G={+1} 构成一阶群
2 例子 群与分子点群 . 1)、全部正、负整数及零的集合 负整数及零的集合,结合规则是数的加法 结合规则是数的加法。 说明 (1) 结合性 ：数的加法具有结合性 (2) 封闭性：整数的加和仍为整数 (3) 恒等元素： 0 (4) 逆元素：相反数 （1 与 -1，2 与 - 2，…..） ) 数组 { } 结合规则是数 2， ..） 2)、数组：G = {+1, -1, i, -i} , 结合规则是数 的乘法。说明 : (1) 结合性 ：满足 (2) 封闭性：满足 (3) 恒等元素： +1 (4) 逆元素： ( i ) -1 = -i , ( -1 )- 1 = -1 同理： 数组 G = {+1, -1} 构成二阶群 4 G = {+1 } 构成一阶群
群与分子点群 2、例子 3)、分子全部对称操作的集合构成一个群-一 ·分子点群 (1)封闭性： 若A和B是分子的对称操作， 则AB必是分子的对称操作。 (2)单位元：恒等操作 (3) 逆元素：逆操作 (6)=6,(Cn)=C, (4)结合律： (R:R)R=R(RR) 例：NH分子-C3v群(6阶){E,C,C好，r,6',G,"} 5
2 例子 群与分子点群 、 3)、分子全部对称操作的集合构成 分子全部对称操作的集合构成 个群 一 ---- 分子点群 (1) 封闭性： 若 A和B是分子的对称操作， 则 AB 必是分子的对称操作。 (2) 单位元 恒等操作 (3) 逆元素：逆操作 (2) 单位元：恒等操作 , ....... ˆ ) ˆ ( ˆ) ˆ, ( 1 1 1 n (3) 逆元素：逆操作 Cn Cn (4) 结合律： ( ) , ( ) , n n ) ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ (R3R2 R1 R3 R2R1 例：NH3分子 --- C3V 群（6阶） ˆ, ˆ , ˆ , ˆ , ˆ ', ˆ " 2 E C3 C3 V V V 5 3 3 V V V
群与分子点群 3、分子点群 1)点群：分子所有对称操作构成的群（质心不动） 2)基本分类 (1)无Cm轴：C,C,C (2)有1个C轴：Cn,CM,Cm,Sn (3)1个Cn轴+n个⊥C2:Dn,Dh,Dmd (4)多面体群：Ta,Oh,Ih,K (S)线性分子：C,Dn >6
3 分子点群 群与分子点群 、 1）点群：分子所有对称操作构成的群（质心不动） 2）基本分类 1 1 无C CCC 轴： 1 i 1 , , 无C CCC n s 轴： i 2 21 ,,, 有 个 轴： C CC C S n n nh nv n 2 31 + : , , 个轴个 C n C DD D n n nh nd 4 , ,, 多面体群：TOIK d hh h 5 , 线性分子：C v h D 6 5 , 线性分子：C v h
群与分子点群 3、分子点群 无Cn轴群 1 点 无对称元素仅有对称操作：E 群3群 点 仅有一个对称面 对称操作： E,6 点 仅有一个对称中心对称操作： E,f H H F11 ..wll
3 分子点群 群与分子点群 、 无Cn轴群 1、 点 群 C1 ----- 无对称元素 仅有对称操作: Eˆ 2 C 点 ˆ 群2、 点 仅有 个对称面 对称操作 Eˆ 群 Cs ----- 仅有一个对称面 对称操作: E , 3 、 点 ----- 仅有一个对称中心 对称操作: Ci E i ˆ , ˆ H H 仅有 个对称中 群 i 对称操作 , H C C C C O O C F Br Cl C F F Cl C C O O H 7
群与分子点群 3、分子点群 1)Cn:只有一个Cn,没有其他对称元素 单Cn籼群 Cn={C,C,,C,E},群的阶数为n CHCF(扭曲式) CH,CF,(扭曲式) H202 2)C:1个Cn+1o,没有其他对称元素 C={C,C,C,Ga,C12mG:},群的阶数为2n >8
3 分子点群 群与分子点群 、 单Cn轴群 8
群与分子点群 3、分子点群 单Cn轴群 3)Cm:一个Cn+n个ov 2n阶 n个操作 个操作 >9
3 分子点群 群与分子点群 、 单Cn轴群 9
群与分子点群 3、分子点群 单Cn籼群 4)S2n群：仅有一个S2n轴 (n为奇数时，S即为Cn群) 共2n个操作 ①S H3c CH3 CH3 H3C >10
3 分子点群 群与分子点群 、 单Cn轴群 10