三预分的远法刘 第五章导数与微分 海南大学数学系 (I)du(x)±vx=du(x)±d(x): (2)dlu(x)v(x=v(x)du(x)+u(x)dv(x): (3)d)du)-a)dv() Lx)] v(x) (4)dfgx]=f"()g'(x)dk,其中u=g(x). 注在(4)中，由于dM=g()=g'(xk,dfgx=d/=fud.即(4)式： 小=∫(w)g'(x)k不仅在x为自变量时成立，当它是另一个可微函数的因变量时也成立. 例1求y=x2Inx+cosx2的微分 例2求y=em+,的微分 三、一阶微分形式的不变性 考察复合函数y=f,u=(),y=八g(x,求微分 dy=fg(x)lg'(x)dx=f(u)du 观察看出，对y=(四求微分时，不管“是自变量还是函数，所得结果的形式是不变的，这 个性质称为一阶微分形式的不变性.它为一阶微分形式所独有，对高阶微分就不成立了· 考察函数y=f(x),其一阶微分dy=f'(xdx,这时x,dx是独立变量，即dy是x和dx的函 数， d'y=d(dy)=(f(x)dx)'dx =f"(xdx)子 =f"(x)dx2 这里dr2=(dw)是一种简单记法，不要误解成d(r)=2xdx.在(x1xy计算中，把dx看成 常数，得到f"(xdx,一般地可得到d严y=f(dx”,这是n阶微分，这对理解记号 )a作为高阶微商，即高阶导数就很自公 对高阶微分，我们有 d"(u±v)=d"u±d"v. d(w)-Ecidud' 如果有复合函数：y=f四，u=8(x),我们有d少y=f代md”,即一阶微分有形式不变性. 3 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 3 二、微分的运算法则 （1） d u x v x du x dv x [ ( ) ( )] ( ) ( )  =  ； （2） d u x v x v x du x u x dv x [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) = + ； （3） 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x du x u x dv x d v x v x   − =     ； （4） d f g x f u g x dx [ ( )] ( ) ( )  =    ,其中 u g x = ( ) . 注 在（4）中,由 于 du dg x g x dx = = ( ) ( )  , d f g x d f u f u du [ ( )] [ ( )] ( )  = =  .即（4 ）式： dy f u g x dx =   ( ) ( ) 不仅在 x 为自变量时成立,当它是另一个可微函数的因变量时也成立. 例 1 求 2 2 y x x x = + ln cos 的微分 例 2 求 sin( ) ax b y e + = 的微分 三、一阶微分形式的不变性 考察复合函数 y = f (u) , u = g(x) , y = f [g(x)] , 求微分 d y = f [g(x)]g(x)d x = f (u)du . 观察看出, 对 y = f (u) 求微分时,不管 u 是自变量还是函数, 所得结果的形式是不变的,这 个性质称为一阶微分形式的不变性.它为一阶微分形式所独有,对高阶微分就不成立了. 考察函数 y = f (x) ,其一阶微分 d y = f (x)d x ,这时 x , d x 是独立变量,即 d y 是 x 和 d x 的函 数, 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ) f x d x f x d x d y d d y f x d x d x =  =  = =   这里 2 2 d x = (d x) 是一种简单记法,不要误解成 d(x ) = 2x  d x 2 .在 ( f (x)d x) 计算中,把 d x 看成 常 数 , 得 到 2 f (x)(d x) , 一般地可得到 n n n d y f (x)d x ( ) = , 这 是 n 阶微分 , 这对理解记号 n n n d x d y f (x) = ( ) 作为高阶微商,即高阶导数就很自然了. 对高阶微分,我们有 d u v d u d v n n n (  ) =  , d uv C d u d v n k k k k n n =  −  =  0 ( ) , 如果有复合函数： y = f (u) , u = g(x) ,我们有 d y = f (u)du ,即一阶微分有形式不变性