定理4.2复级数∑a,收敛于s的充要条件是实级数∑ n=l 和∑Bn分别收敛学和x,其中s=6+i,a,=a,+B,(0n=1,2 n=l 证明：Sn=41+a2+…an =(C必1+2+…+an)+i(B+B2+…+Bn) =δn+itn 其中d,=∑g,n=∑B,它们分别为实级数∑a,和∑B 的部分和. 由定义4.2及定理4.1知，sn收敛于s的充要条件是{6} 和{}分别收敛于和x从而定理得证定理 4.2 复级数 收敛于s的充要条件是实级数 和 分别收敛于和，其中 1 n n a  =  1 n n   =  1 n n   =  i , ( 1,2, ). n n n s a n = + = + =     证明： 1 2 1 2 1 2 ( ) i( ) i . n n n n n n s a a a         = + + = + + + + + + + = + 1 1 , , n n n i n i i i     = = = =   1 n i i  =  1 n i i  = 其中 它们分别为实级数 和  的部分和. 由定义4.2及定理4.1知，sn收敛于s的充要条件是{n} 和{n}分别收敛于和.从而定理得证