84.2 hankel算子和丑ankl范数 (4.3)的第一式的两端左乘υ,右乘υ,并考虑到(434)可得(+∑1=0.由∑1>0,v≠0,知 (A+)=0.于是(434)等价于 WwI -All B1l=0 这意味着A1在j轴上有特征值,记=span{v1,U2,…,k}为jI-A1的零空间,即y=Ker(jI A1).令U1,2,…,D是ν的一组基。V=[1,U2,…,Uk],于是 (jwI-Ai1)V (4.35) (4.3)第二式的两端左乘V,右乘v,得 vA1∑1V+V“S1A1V+VCC1V=0 由(435)得v(-juI-A1)=0.于是,上式等价为 -jvΣ1V+juV“∑1V+vc:C1V=vCiC1V=0,C1V=0 (4.3)的第二式右乘v,得 A11∑1V+∑1A1v=0 jI+A1)1V=0 于是有 C1V=0,(juI+A1)∑1V=0 (4.36) 同理可证 B1∑1V=0,(jI-A1)V=0 (4.37) 最后一个式子说明,∑ V C Ker(juI-A1),即y是∑的不变子空间。于是 ∑v=V (4.38) 江的特征值是Σ特征值的一部分。通过对V进行相似变换,可使得∑也是对角阵 现在再考虑(4.32)的(2,1)块,即 A21∑1+∑2A12+B2B1=0 (4.39 A12∑1+∑2A21+C2C 第一式右乘Σ1V,并考虑(4.37)得 A2V+∑2A121V=0 (4.40) 第二式左乘Σ2,右乘V,并考虑(4.36),得 ∑2A12∑1V+∑2AV=0 (440)-(4.41)并考虑到(4.38),得 22 A21 V= A21 21V= A21V21 上式说明,A21V是∑不变的。因为和∑2没有公共特征值,必有A21V=0.再由(435)可得 这说明j是A的一个特征值,这与A稳定这一假设矛盾。☞ ✌✍ ✎✑✏✓✒✔✕✖✗✙✘✁✚✜✛✢✏✓✒✔✕✖✗✤✣✦✥ ✧ ★ ✩ ✪ ✫ ✬ ✬ ✭✯✮✜✰✡✱✁✲✳✮✜✴✶✵✶✷✶✸✺✹✙✻ ✼✾✽✶✸✺✹✿✼✾❀✶❁✶❂✶❃❄✩ ✪ ✫ ✬ ✪ ✭✓❅✁❆❇✩ ❈❊❉ ❈❋✭ ✹✾✻ ●✓❍ ✹✁■❑❏ ✫▼▲✟●✓❍❖◆✑❏ ✼✙✹◗P■❑❘❙✼✙❚ ✩ ❈❯❉ ❈❋✭✿■✶❏ ✫✿❱✜❲✟✩ ✪ ✫ ✬ ✪ ✭✙❳✁❨✶❱ ✹ ✻✿❩❬❭✿❪❯❫☎❴ ❍ ❍▼❵✯❍ ❛❙■✶❘ ✻ ❜✁❝✳❞✦❡ ❴ ❍ ❍✿❢ ❬❭✦❣✁❤✁✐✁❥✶❦✜❧✡♠✤♥♣♦ ■✁qrst❙✉ ✹✙❍❙✈ ✹✾✇✾✈ ① ① ① ✈ ✹❙② ③✓④ ❬❭✿❪✤❫❖❴ ❍ ❍✤✮▼⑤✡⑥✶⑦ ♠✯⑧⑨♦ ■✶⑩✓❶ ❷ ✩ ❬❭✿❪✤❫ ❴ ❍ ❍ ✭ ✫✙❸✢✹✙❍✾✈ ✹❙✇✙✈ ① ① ① ✈ ✹❋②❯❲ ♦ ✮✜✱✜❹✁❺✡❻❽❼◗■ ❩✹✙❍❙✈ ✹✾✇✾✈ ① ① ① ✈ ✹❙② ❛ ✼ ❱✜❲ ✩ ❬❭✿❪❾❫✦❴ ❍ ❍ ✭ ❼✡■✶❏ ✩ ✪ ✫ ✬ ❿ ✭ ✩ ✪ ✫ ✬ ✬ ✭✙✰✁➀✁✲✡✮▼✴✁✵✁✷✶✸➁❼❊✻ ✼ ✽✁✸➁❼❖✼ ❆ ❼✻ ❴✯✻❍ ❍ ●✓❍ ❼✁❉▼❼ ✻ ●✓❍ ❴ ❍ ❍ ❼✜❉✜❼✻ ➂❾✻❍ ➂❍ ❼✡■✶❏ ▲❽✩ ✪ ✫ ✬ ❿ ✭✙❆✺❼❯✻ ✩ ❫✝❬❭✿❪❯❫✦❴✻❍ ❍ ✭✿■✶❏ ✫✙❱✜❲♠☎❤✲✁❳✁❨✡④ ❫✝❬❭ ❼ ✻ ●✓❍ ❼✁❉ ❬❭ ❼ ✻ ●✓❍ ❼✁❉✜❼✻ ➂❾✻❍ ➂❍ ❼✡■✶❼✻ ➂❾✻❍ ➂❍ ❼✡■✶❏✝✈➄➃❖➅ ➂❍ ❼✡■✶❏ ✩ ✪ ✫ ✬ ✬ ✭✝✮▼✰✁➀✁✲✁✽✁✸➁❼➆✼ ❆ ❴✯✻❍ ❍ ●✓❍ ❼✁❉▼●✓❍ ❴ ❍ ❍ ❼✡■✶❏➇➃❖➅➈✩ ❬❭✿❪ ❉ ❴✯✻❍ ❍ ✭ ●✓❍ ❼✡■✶❏ ❱✜❲✐ ➂❍ ❼✡■✶❏✝✈➉✩ ❬❭✿❪ ❉ ❴✯✻❍ ❍ ✭ ●✓❍ ❼✡■✁❏ ✩ ✪ ✫ ✬ ➊ ✭ ➋✦➌❅✜➍ ❵ ✻ ❍ ●✓❍ ❼✡■✶❏✝✈➉✩ ❬❭✿❪❯❫☎❴ ❍ ❍ ✭ ● ✇ ❍ ❼✡■✶❏ ✩ ✪ ✫ ✬ ✧ ✭ ➎✁➏✱✜➐✁✲✁➑✁➒✑➓ ♠ ● ✇ ❍ ❼✳➔✁⑩✓❶ ❷ ✩ ❬❭✿❪❾❫✦❴ ❍ ❍ ✭ ✼ ⑧♣♦ ❲➁● ✇ ❍ ✮✜→✜➣✁➑✡⑥✶⑦✜❻✦❱✁❲ ● ✇ ❍ ❼✡■✶❼☎↔● ✇ ❍ ✩ ✪ ✫ ✬ ↕ ✭ ●↔ ✇ ❍ ✮❥✶❦✜❧❲➁● ✇ ❍ ❥✶❦✜❧✮✜✱✜➙✁➛✳❻☎➜✶➝✁➞➟❼✑➠✁➡✁➢✁➤✁➣✁➥♠ ❅✁➦✁❆➧↔● ✇ ❍✤➨❲✁➞✶➩✡➫✜❻ ➭❢✁➯✁❁✁❂✟✩ ✪ ✫ ✬ ➲ ✭✓✮✟✩ ➲✝✈ ★ ✭✿➳♠▼⑧ ➵ ❴✇ ❍ ●✓❍✙❉▼●✤✇ ❴✻❍ ✇ ❉✜❵✓✇ ❵❾✻❍ ■➸❏ ❴✻❍ ✇ ●✓❍✙❉▼●✤✇ ❴✇ ❍✙❉ ➂✇✻ ➂❍➟■➸❏ ✩ ✪ ✫ ✬ ➺ ✭ ✰✶✱✜✲✁✽✁✸➁●✓❍ ❼❯✼ ❀✁❁✁❂✟✩ ✪ ✫ ✬ ✧ ✭✿❆ ❴✇ ❍ ● ✇ ❍ ❼✁❉▼●✤✇ ❴✯✻❍ ✇ ●✓❍ ❼✡■✶❏ ✩ ✪ ✫ ✪ ❏ ✭ ✰✁➀✁✲✁✷✁✸➁●✤✇ ✼ ✽✁✸➁❼❖✼ ❀✁❁✁❂✟✩ ✪ ✫ ✬ ➊ ✭ ✼ ❆ ●✤✇ ❴✯✻❍ ✇ ●✓❍ ❼✜❉✜● ✇ ✇ ❴✇ ❍ ❼✡■✶❏ ✩ ✪ ✫ ✪ ★ ✭ ✩ ✪ ✫ ✪ ❏ ✭ ➻ ✩ ✪ ✫ ✪ ★ ✭✾❀✁❁✁❂✁❃✟✩ ✪ ✫ ✬ ↕ ✭ ✼ ❆ ● ✇ ✇ ❴✇ ❍ ❼✡■ ❴✇ ❍ ● ✇ ❍ ❼✡■ ❴✇ ❍ ❼☎↔● ✇ ❍ ✩ ✪ ✫ ✪ ➲ ✭ ❤✲✁➒◗➓ ♠♣❴✇ ❍ ❼✳❲➁● ✇ ✇ →✜➣✡✮✁❻✜➼▼④ ●↔ ✇ ❍✤➽ ● ✇ ✇✯➾✐✁➚✁➪✁❥✶❦✜❧✳♠✦➶✜✐✢❴✇ ❍ ❼✶■✶❏ ✫✙➯✑▲➹✩ ✪ ✫ ✬ ❿ ✭✿❅✜❆ ➘ ❬❭✿❪❾❫✦❴ ❍ ❍ ❫✤❴ ❍ ✇ ❫✤❴✇ ❍ ❬❭✿❪❾❫✦❴✇ ✇➆➴ ➘ ❼ ❏✳➴ ■✶❏ ❜➒◗➓ ❬❭ ❲ ❴ ✮✜✱✜➐❥✶❦✜❧✡♠ ❜✶➷ ❴✑➬✁➮❜✱✜➱✁✃✶❐✶❒✶❻