第四章 Hankel范数模型逼近理论 42.5 Hankel算子的 Schmidt分解 先考虑常矩阵A∈Cm×n,其秩为r≤min{m,n}.则存在酉矩阵V=[1U2…Un]和W=[u1U2…U 使得 00 A 显然v;和U;为单位向量,且满足(v;,v}=6,(;,U)=6,这里6是 Kronecker量 和关系式 Av;=a;U;A"u;=σ;U;,t=1,2,,,T 于是有 00 A= w 上式叫做A的奇异值分解。υ;和v;叫做A的奇异向量。于是对于任意的u∈Cn,都有 A=x}=10;{U;,u (4.43) 现在考虑 Hankel算子rG及其伴随算子Ia我们将对rc做类似于(443)的分解。用PQ的右特征向 量m;,定义 A·t (4.44) 这里i=1,2,…,n.下面的分析说明,可取m;满足Q;=σ2P-m;,m;Qm;=σ2,使 即u;(t),讠=1,2,,n是就范直交系 若(A,B,C)是平衡实现,取a;=eva,则有 ∑ e;o;V=02-;(分Qam;=02P-1ae;) a∑ (台mQa;=2) 且 ≠j❮ ❰ Ï✳Ð☎ÑÓÒ✓ÔÕÖ×Ø✝Ù✦Ú✜Û✡Ü✜Ý✁Þ✶ß✜à á â✾ã ä❙ã åçæ❊èé✙ê❋ëì✿í✁î✡ï✟ð✾ñò✙ó✦ô õ✾ö✯÷✁ø ù✁ú✁û✶ü❑ý✳þ☎ÿ✁￾✄✂✆☎✞✝ ✟✡✠ ☛✁☞✍✌✏✎✒✑✔✓✖✕✗✆✘✙✛✚ ✜✣✢ ✤✆✥✍✦✍✧✁★✜ý✳þ✪✩✁✫✭✬✮✣✯ ✮✡✰✒✱ ✱ ✱ ✮ ✟✳✲ ✴✶✵ ✫✭✬✷✄✯✆✷✖✰✒✱ ✱ ✱ ✷ ☎✄✲ ✠ ✸✍✹ ✺✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✼ ✷✖✽✯ ✷✖✽✰ ✤ ✤ ✤ ✷✄✽☎ ✾✿ ✿ ✿ ✿ ✿ ❀ ÿ✔✬✮✣✯✆✮✡✰✞✱ ✱ ✱ ✮ ✟❁✲ ✫ ✺✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✼ ❂ ✯❄❃❅✱ ✱ ✱❆❃ ❇❈ ❃ ❂✰ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ❃ ✤ ✤ ✤ ❃❉✱ ✱ ✱❊❃ ❂✆❋ ❇❈ ❇●❇❍✱ ✱ ✱■❇ ❃ ✾✿ ✿ ✿ ✿ ✿ ✿ ✿ ✿ ❀ ❏▲❑ ✮✡▼ ✴ ✷✖▼✣✌▲◆✍❖◗P❙❘✛❚❙❯✁❱✁❲❨❳ ✮❁▼ ✚✆✮❩ ❬❁✫✍❭▼❩ ✠✣❳✷✖▼ ✚✆✷✞❩ ❬❁✫▲❭▼❩ ✠ ❪✍❫❴❭▼❩✞❵❜❛❞❝ ❡✗❢ ❣❤❢ ❝❞❘ ❭▼❩✞✫✭✐❦❥ ✚♠❧❴♥✣✫✔♦♣✚ ❃ ✚♠❧❴♥❞q✫✔♦♣✚ ✴✍r✛s✔t ÿ❞✮✉▼✣✫ ❂▼ ✷✖▼ ÿ✽ ✷✈▼✣✫ ❂▼ ✮✉▼ ✚✁♥✣✫ ❥ ✚ ❰ ✚ ✇ ✇ ✇ ✚ ✎✳✇ ①❵✍② ÿ③✫✭✬✷✄✯✆✷✄✰✞✱ ✱ ✱ ✷ ☎④✲ ✺✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✼ ❂ ✯⑤❃⑥✱ ✱ ✱⑦❃ ❇❈ ❃ ❂✰ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ✤ ❃ ✤ ✤ ✤ ❃❄✱ ✱ ✱⑧❃ ❂✆❋ ❇❈ ❇⑨❇❍✱ ✱ ✱■❇ ❃ ✾✿ ✿ ✿ ✿ ✿ ✿ ✿ ✿ ❀ ✺✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✼ ✮✡✽✯ ✮✡✽✰ ✤ ✤ ✤ ✮✡✽✟ ✾✿ ✿ ✿ ✿ ✿ ❀ ✫✁⑩❋ ▼ ❶✡✯ ❂▼✷✖▼ ✮✡✽▼ ❷ t◗❸❙❹ ÿ❻❺✔❼✁❽▲❾✍❿✍➀✛➁❦✮❁▼ ✴ ✷✈▼ ❸❙❹ ÿ✭❺✔❼✁❽✭P❙❘✛➁ ①❵✍➂①✍➃✍➄❺❦➅✁￾④✂✆✟✆✠ ➆✍② ÿ❞➅➇✫✁➈❋ ▼ ❶✡✯ ❂▼✆❳ ✮✉▼ ✚ ➅❁❬ ✷✖▼ ➉ ➊ ✤ ➊ ➋ ➌ ➍✧✶ú✶û➏➎♣➐✗❤❢ ➑✉➒✁➓➏➔✉→✁➣✁☛✁↔✭↕▲➒✁➓➏➔✉→❁➙ ✤❞➛✛➜▲➝✁➂➏➔✉→ ❹✁➞✁➟① ➉ ➊ ✤ ➊ ➋ ➌✳❺▲❿✁➀✭➁➇➠❜➡✞➢✭❺▲➤✁➥✛➦◗P ❘❜➧✡▼ ✠ ➨✍➩ ➅❁▼ ➉ ➫ ➌❜✫ ❂✣➭ ✰ ▼◗➯ ✽ ➲ ➭✆➳ ➙ ➵ ➢✞➧✡▼ ✚❉➫♣➸✍❃✳✚ ➺▼ ➉ ➫ ➌➏✫ ❂✣➭ ✯ ▼◗➻➲➳ ➵ ➧✡▼ ✚ ➫♣➼✍❃✳✚ ➉ ➊ ✤ ➊ ➊ ➌ ❪✍❫❴♥✣✫ ❥ ✚ ❰ ✚ ✱ ✱ ✱ ✚ ✜✣✤✣➽✍➾✁❺✔❿✍➚✍➪❻➶✔❚➇➹✍➘❜➧✳▼✣❱✁❲❴➢✞➧✡▼✣✫ ❂ ✰ ▼ ➡ ➭ ✯ ➧✣▼ ✠✆➧✣✽▼ ➢✞➧✣▼✡✫ ❂ ✰ ▼ ✠ ✸ ❳➅✣❩❁✚ ➅❁▼ ❬✣✫◗✐➴❥ ♥✣✫▲♦ ❃➷♥❞q✫▲♦ ✇ ➬ ➅❁▼ ➉ ➫ ➌ ✠✆♥✡✫ ❥ ✚ ❰ ✚ ✇ ✇ ✇ ✚ ✜✄❵✍➮✁➱▲✃✍❐s ➁ ❧❒➉ÿ➇✚ ➯ ✚ ➻➌✣❵✍❮✍❰✁Ï➍❚❙➘❜➧✳▼✡✫✁Ð ▼ Ñ❂▼ ✠ ✥✍② ➈♣➧✣▼Ò✫ÓÐ ▼ ❂▼ Ñ❂▼✡✫ ❂ ✰ ▼ ➈ ➭ ✯ ➧✡▼➏➉Ô❦➢✞➧✡▼✡✫ ❂ ✰ ▼ ➡ ➭ ✯ ➧✡▼ ➌ ➧✣✽▼ ➈♣➧✣▼❴✫ ❂ ✰ ▼ ➉Ô❦➧✣✽▼ ➢✞➧✣▼✡✫ ❂ ✰ ▼ ➌ ❯ ❳➅✡❩❁✚ ➅❁▼ ❬❁✫✍➧ ✽ ▼ ➈ ➭ ✯ ➧✉❩Õ✫◗✐ ❥ ♥✡✫▲♦♣✚ ❃❄♥♣q✫▲♦♣✇